integral entre 0 e 4 de 4y-y^2 — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int_{0}^{4} (4 y - y^{2}) d y

ⅰ

\int (4 y - y^{2}) d y

\int 4 y d y - \int y^{2} d y

\int 4 y d y - \int y^{2} d y

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

y^{n}

\frac{y^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int 4 y d y

4 \cdot \frac{y^{2}}{2}

■Uma primitiva de

y^{n}

\frac{y^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int y^{2} d y

- \frac{y^{3}}{3}

4 \cdot \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{3}}{3}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

4 \cdot \frac{y^{2}}{2}

\frac{4 y^{2}}{2}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{4 y^{2}}{2}

2 y^{2}

▷

2 y^{2} - \frac{y^{3}}{3}

2) Vamos avaliar no intervalo

[0; 4]

(2 \cdot 4^{2} - \frac{4^{3}}{3}) - (2 \cdot 0^{2} - \frac{0^{3}}{3})

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

4^{2}

4 \cdot 4

16

4^{3}

4 \cdot 4 \cdot 4

64

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 \cdot 0^{2} - \frac{0^{3}}{3})

- 2 \cdot 0^{2} + \frac{0^{3}}{3}

2 \cdot 16

- \frac{64}{3}

- 2 \cdot 0^{2}

+ \frac{0^{3}}{3}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 16

2 \cdot (10 + 6)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 6

20 + 12

32

■Um produto com um fator nulo é nulo:

-2 \cdot 0

0

32

- \frac{64}{3}

+ 0

+ 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

- \frac{64}{3} + 0 + 0

- \frac{64}{3}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

32 - \frac{64}{3}

\frac{3 \cdot 32 - 64}{3}

\frac{3 \cdot 32 - 64}{3}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 32

3 \cdot (30 + 2)

3 \cdot 30 + 3 \cdot 2

90 + 6

96

\frac{96 - 64}{3}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

96 - 64

32

▶Integral:

\frac{32}{3}

3) O valor numérico de:

\frac{32}{3}

vale:

▷

\approx 10,6667