integral entre 0 e 4 de (8t)/((t-5)^2)

1) Vamos integrar:

\int_{0}^{4} \frac{8 t}{{(t - 5)}^{2}} d t

2) Podemos decompor em frações parciais:

\frac{8 t}{{(t - 5)}^{2}} = \frac{A}{t - 5} + \frac{B}{{(t - 5)}^{2}}

Para encontrar as incógnitas restantes, multiplicamos ambos os membros pelo denominador

{(t - 5)}^{2}

, o que dá:

8 t = A \cdot (t - 5) + B

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

A \cdot (t - 5)

A t + A \cdot (-5)

8 t = A t + A \cdot (-5) + B

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

A \cdot (-5)

- 5 A

8 t = A t - 5 A + B

3) Identificando os diferentes termos, obtemos o sistema de equações:

[1]:

8 = A

[2]:

0 = - 5 A + B

Solução obtida [1]:

A = 8

4) Vamos resolver para B:

0 = - 5 A + B

[2] onde

A = 8

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

5 \cdot 8

40

- 40 + B = 0

ⓘ Somamos

40

a ambos os membros

Solução encontrada [2]:

B = 40

5) Finalmente, substituímos os valores das incógnitas na decomposição racional inicial:

\frac{8 t}{{(t - 5)}^{2}} = \frac{8}{t - 5} + \frac{40}{{(t - 5)}^{2}}

6) Vamos integrar:

\int (\frac{8}{t - 5} + \frac{40}{{(t - 5)}^{2}}) d t

ⅰ

\int (\frac{8}{t - 5} + \frac{40}{{(t - 5)}^{2}}) d t

\int \frac{8}{t - 5} d t + \int \frac{40}{{(t - 5)}^{2}} d t

\int \frac{8}{t - 5} d t + \int \frac{40}{{(t - 5)}^{2}} d t

Fazemos

u = t - 5

. Então

du = dt

, pelo que

dt = du

\int \frac{8}{t - 5} d t = 8 \cdot \int \frac{1}{u} d u

Utilizamos

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. O valor absoluto permite tratar ambos os sinais do denominador, em qualquer intervalo onde

t - 5 \neq 0

Substituímos

u

por

t - 5

na primitiva

Fazemos

u = t - 5

. Então

du = dt

, pelo que

dt = du

\int \frac{40}{{(t - 5)}^{2}} d t = 40 \cdot \int u^{-2} d u

Aplicamos a regra das potências:

\int u^{-2} d u = - u^{-1}

Substituímos

u

por

t - 5

na primitiva

A primitiva é válida em cada intervalo onde

t - 5 \neq 0

ⓘ A derivada de

\frac{40}{- t + 5}

\frac{40}{{(t - 5)}^{2}}

, pelo que

\frac{40}{- t + 5}

é uma primitiva de

\frac{40}{{(t - 5)}^{2}}

\int \frac{40}{{(t - 5)}^{2}} d t

\frac{40}{- t + 5}

ⅰ

\int \frac{8 t}{{(t - 5)}^{2}} d t

8 \cdot \ln | t - 5 | + \frac{40}{- t + 5}

8 \cdot \ln | t - 5 | + \frac{40}{- t + 5}

Colocamos em evidência

8

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

8 \cdot \ln | t - 5 | + \frac{40}{- t + 5}

8 \cdot (\ln | t - 5 | + \frac{5}{- t + 5})

Fator encontrado:

\ln | t - 5 | + \frac{5}{5 - t}

▷

8 \cdot (\ln | t - 5 | + \frac{5}{5 - t})

7) Vamos avaliar no intervalo

[0; 4]

8 \cdot (\ln | 4 - 5 | + \frac{5}{5 - 4}) - 8 \cdot (\ln | 0 - 5 | + \frac{5}{5 + 0})

ⓘ Partimos de

4

e recuamos

5

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

4 - 5

-1

■O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

5 - 4

1

■Somar 0 não altera o valor:

0 - 5

-5

5 + 0

5

■Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

5

, o seu máximo divisor comum:

\frac{5}{5}

1

8 \cdot (\ln | -1 | + \frac{5}{1}) - 8 \cdot (\ln | -5 | + 1)

8 \cdot (\ln | -1 | + 5) - 8 \cdot (\ln | -5 | + 1)

ⓘ A expressão dentro do valor absoluto é negativa ou nula, pelo que o seu valor absoluto é igual ao seu oposto:

| -1 |

1

| -5 |

5

■Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

8 \cdot (\ln (1) + 5)

8 \cdot \ln (1) + 40

- 8 \cdot (\ln (5) + 1)

- (8 \cdot \ln (5) + 8)

8 \cdot \ln (1) + 40 - (8 \cdot \ln (5) + 8)

ⓘ

\ln (1) = 0

, pois

\exp (0) = 1

\ln (1)

0

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (8 \cdot \ln (5) + 8)

- 8 \cdot \ln (5) - 8

8 \cdot 0

+ 40

- 8 \cdot \ln (5)

- 8

ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

8 \cdot 0

0

■Partimos de

40

e recuamos

8

na reta numérica:

40 - 8

32

0 + 32 - 8 \cdot \ln (5)

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 32

32

▶Integral:

32 - 8 \cdot \ln (5)

8) O valor numérico de:

32 - 8 \cdot \ln (5)

vale:

32 - 8 \cdot \approx 1,6094

32 - \approx 12,8755

▷

\approx 19,1245