integral entre 0 e 6 de 1/sqrt(x^2+64)

1) Vamos calcular a integral:

\int_{0}^{6} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 64}} d x

A derivada de

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 64})

\frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 64}}}{x + \sqrt{x^{2} + 64}}

\frac{\frac{\sqrt{x^{2} + 64} + x}{\sqrt{x^{2} + 64}}}{x + \sqrt{x^{2} + 64}}

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 64}}

ⓘ A derivada de

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 64})

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 64}}

, pelo que

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 64})

é uma primitiva de

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 64}}

\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 64}} d x

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 64})

▷

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 64})

2) Vamos avaliar no intervalo

[0; 6]

\ln (6 + \sqrt{6^{2} + 64}) - \ln (0 + \sqrt{0^{2} + 64})

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

6^{2}

6 \cdot 6

36

■Somar 0 não altera o valor:

0 + 64

64

0 + \sqrt{64}

\sqrt{64}

■A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{64}

8

pois

8^{2}

64

\ln (6 + \sqrt{36 + 64}) - \ln (8)

ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

36 + 64

100

■O logaritmo de uma potência é um múltiplo do logaritmo,

\ln (a^{n}) = n \cdot \ln (a)

- \ln (8)

- \ln (2^{3})

- 3 \cdot \ln (2)

\ln (6 + \sqrt{100}) - 3 \cdot \ln (2)

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{100}

10

pois

10^{2}

100

\ln (6 + 10) - 3 \cdot \ln (2)

ⓘ Partimos de

6

e avançamos

10

na reta numérica:

6 + 10

16

\ln (16) - 3 \cdot \ln (2)

ⓘ Para argumentos estritamente positivos, uma soma de logaritmos é o logaritmo do produto e uma diferença é o do quociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

\ln (16) - 3 \cdot \ln (2)

\ln (\frac{16}{2^{3}})

\ln (\frac{16}{2^{3}})

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

\ln (\frac{16}{8})

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

8

, o seu máximo divisor comum:

\frac{16}{8}

2

▶Integral:

\ln (2)

3) O valor numérico de:

\ln (2)

é:

▷

\approx 0,6931