integral entre 0 e pi de -2sin(x)^2 — solução passo a passo

1) Vamos calcular a integral:

\int_{0}^{π} (- 2 \cdot {\sin (x)}^{2}) d x

Reduzimos o quadrado com a identidade

{\sin (x)}^{2} = \frac{1 - \cos (2 x)}{2}

ⅰ

\int (- 2 \cdot {\sin (x)}^{2}) d x

- \int (1 - \cos (2 x)) d x

- \int (1 - \cos (2 x)) d x

Para a expressão matemática

- \cos (2 x)

, sabendo que (sin(a))' = a'*cos(a), tentamos derivar

\sin (2 x)

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

com f =

2 x

ⓘ A derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2 \cdot \cos (2 x)

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⅰ

- \int (1 - \cos (2 x)) d x

- (- \frac{1}{2} \cdot \sin (2 x) + \int 1 d x)

- (- \frac{1}{2} \cdot \sin (2 x) + \int 1 d x)

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)

\frac{1 \cdot \sin (2 x)}{2}

\frac{\sin (2 x)}{2}

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (- \frac{\sin (2 x)}{2} + \int 1 d x)

\frac{\sin (2 x)}{2} - \int 1 d x

\frac{\sin (2 x)}{2} - \int 1 d x

ⓘ A derivada de

- x

-1

, pelo que

- x

é uma primitiva de

-1

- \int 1 d x

- x

▷

\frac{\sin (2 x)}{2} - x

3) Vamos avaliar no intervalo

[0; π]

(\frac{\sin (2 π)}{2} - π) - (\frac{\sin (2 \cdot 0)}{2} + 0)

ⓘ cos e sin são periódicas de período 2π:

\sin (2 π)

\sin (0)

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (\frac{\sin (2 \cdot 0)}{2} + 0)

- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{2} + 0

\frac{\sin (0)}{2}

- π

- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{2}

+ 0

ⓘ O seno corresponde à ordenada (eixo vertical) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de

0

radianos a partir do semieixo horizontal positivo, é um valor notável:

\sin (0)

0

■Um produto com um fator nulo é nulo:

2 \cdot 0

0

■Somar 0 não altera o valor:

- \frac{\sin (0)}{2} + 0

- \frac{\sin (0)}{2}

\frac{0}{2} - π - \frac{\sin (0)}{2}

ⓘ O seno corresponde à ordenada (eixo vertical) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de

0

radianos a partir do semieixo horizontal positivo, é um valor notável:

\sin (0)

0

0 - π - \frac{0}{2}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - π

- π

- π + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

- π + 0

- π

▶Integral:

- π

4) O valor numérico de:

- π

é:

▷

\approx -3,1416