integral entre 0 e pi/4 de 4sin^2(x)

1) Vamos integrar:

\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \cdot {\sin (x)}^{2} d x

Reduzimos o quadrado com a identidade

{\sin (x)}^{2} = \frac{1 - \cos (2 x)}{2}

ⅰ

\int 4 \cdot {\sin (x)}^{2} d x

\int (2 - 2 \cdot \cos (2 x)) d x

\int (2 - 2 \cdot \cos (2 x)) d x

Para a expressão matemática

- 2 \cdot \cos (2 x)

, sabendo que (sin(a))' = a'*cos(a), tentamos derivar

\sin (2 x)

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

com f =

2 x

ⓘ A derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2 \cdot \cos (2 x)

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⅰ

\int (2 - 2 \cdot \cos (2 x)) d x

- \sin (2 x) + \int 2 d x

- \sin (2 x) + \int 2 d x

ⓘ A derivada de

2 x

2

, pelo que

2 x

é uma primitiva de

2

\int 2 d x

2 x

▷

- \sin (2 x) + 2 x

3) Vamos avaliar no intervalo

[0; \frac{π}{4}]

(2 \cdot \frac{π}{4} - \sin (2 \cdot \frac{π}{4})) - (2 \cdot 0 - \sin (2 \cdot 0))

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{π}{4}

\frac{2 π}{4}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 π}{4}

\frac{π}{2}

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 \cdot 0 - \sin (2 \cdot 0))

- 2 \cdot 0 + \sin (2 \cdot 0)

\frac{π}{2}

- \sin (\frac{π}{2})

- 2 \cdot 0

+ \sin (2 \cdot 0)

ⓘ O seno corresponde à ordenada (eixo vertical) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de

\frac{π}{2}

radianos a partir do semieixo horizontal positivo, é um valor notável:

- \sin (\frac{π}{2})

-1

■Um produto com um fator nulo é nulo:

-2 \cdot 0

0

2 \cdot 0

0

\frac{π}{2}

- 1

+ 0

+ \sin (0)

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \sin (0)

\sin (0)

■O seno corresponde à ordenada (eixo vertical) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de

0

radianos a partir do semieixo horizontal positivo, é um valor notável:

\sin (0)

0

\frac{π}{2} - 1 + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

- 1 + 0

-1

▶Integral:

\frac{π}{2} - 1

4) O valor numérico de:

\frac{π}{2} - 1

é:

\frac{\approx 3,1416}{2} - 1

\approx 1,5708 - 1

▷

\approx 0,5708