integral entre 1 e 2 de (x-2)/x^3 — solução passo a passo

Vamos integrar:

\int_{1}^{2} \frac{x - 2}{x^{3}} d x

Para

x \neq 0

, dividimos cada termo do numerador pela potência do denominador:

\frac{x - 2}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}

ⅰ

\int \frac{x - 2}{x^{3}} d x

\int \frac{1}{x^{2}} d x - \int \frac{2}{x^{3}} d x

\int \frac{1}{x^{2}} d x - \int \frac{2}{x^{3}} d x

ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int \frac{1}{x^{2}} d x

\int x^{-2} d x

- x^{-1}

- \frac{1}{x}

■Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int \frac{2}{x^{3}} d x

- \int 2 x^{-3} d x

x^{-2}

\frac{1}{x^{2}}

▷

- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}

Vamos avaliar no intervalo

[1; 2]

(\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{1})

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{1})

- \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{1}

\frac{1}{4}

- \frac{1}{2}

- \frac{1}{1^{2}}

+ \frac{1}{1}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1}{4} - \frac{1}{2}

\frac{1 + 2 \cdot (-1)}{4}

■Partimos de

-1

e avançamos

1

na reta numérica, até ao zero:

- 1 + 1

0

\frac{1 + 2 \cdot (-1)}{4} + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{1 + 2 \cdot (-1)}{4} + 0

\frac{1 + 2 \cdot (-1)}{4}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-1)

-2

\frac{1 - 2}{4}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 - 2

-1

▶Integral:

- \frac{1}{4}

O valor numérico de:

- \frac{1}{4}

é:

▷

-0,25