integral entre 1 e 25 de 2/x — solução passo a passo

1) Vamos calcular a integral:

\int_{1}^{25} \frac{2}{x} d x

\int \frac{2}{x} d x = 2 \cdot \int \frac{1}{x} d x

Utilizamos

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

. O valor absoluto permite tratar ambos os sinais do denominador, em qualquer intervalo onde

x \neq 0

ⓘ A derivada de

2 \cdot \ln | x |

\frac{2}{x}

, pelo que

2 \cdot \ln | x |

é uma primitiva de

\frac{2}{x}

\int \frac{2}{x} d x

2 \cdot \ln | x |

▷

2 \cdot \ln | x |

2) Vamos avaliar no intervalo

[1; 25]

2 \cdot \ln | 25 | - 2 \cdot \ln | 1 |

ⓘ Para argumentos estritamente positivos, uma soma de logaritmos é o logaritmo do produto e uma diferença é o do quociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

2 \cdot \ln | 25 | - 2 \cdot \ln | 1 |

\ln (\frac{{| 25 |}^{2}}{{| 1 |}^{2}})

\ln (\frac{{| 25 |}^{2}}{{| 1 |}^{2}})

ⓘ Pode-se eliminar o valor absoluto elevado a uma potência par:

{| 25 |}^{2}

25^{2}

■Pode-se eliminar o valor absoluto elevado a uma potência par:

{| 1 |}^{2}

1

\ln (\frac{25^{2}}{1^{2}})

ⓘ Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

25^{2}

25 \cdot 25

625

\ln (625)

ⓘ O logaritmo de uma potência é um múltiplo do logaritmo,

\ln (a^{n}) = n \cdot \ln (a)

\ln (625)

\ln (5^{4})

4 \cdot \ln (5)

▶Integral:

4 \cdot \ln (5)

3) O valor numérico de:

4 \cdot \ln (5)

vale:

4 \cdot \approx 1,6094

▷

\approx 6,4378