integral entre 2 e 3 de (x^2-4) — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int_{2}^{3} (x^{2} - 4) d x

ⅰ

\int (x^{2} - 4) d x

\int x^{2} d x - \int 4 d x

\int x^{2} d x - \int 4 d x

ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

■A derivada de

- 4 x

-4

, pelo que

- 4 x

é uma primitiva de

-4

- \int 4 d x

- 4 x

▷

\frac{x^{3}}{3} - 4 x

2) Vamos avaliar no intervalo

[2; 3]

(\frac{3^{3}}{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{2^{3}}{3} - 4 \cdot 2)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (\frac{2^{3}}{3} - 4 \cdot 2)

- \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2

\frac{27}{3}

- 12

- \frac{2^{3}}{3}

+ 4 \cdot 2

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

3

, o seu máximo divisor comum:

\frac{27}{3}

9

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 2

8

9

- 12

- \frac{8}{3}

+ 8

ⓘ Partimos de

9

e recuamos

12

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

9 - 12

-3

- 3 - \frac{8}{3} + 8

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- 3 - \frac{8}{3}

\frac{3 \cdot (-3) - 8}{3}

\frac{3 \cdot (-3) - 8}{3} + 8

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

3 \cdot (-3)

-9

\frac{- 9 - 8}{3} + 8

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 9 - 8

-17

- \frac{17}{3} + 8

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{17}{3} + 8

\frac{- 17 + 8 \cdot 3}{3}

\frac{- 17 + 8 \cdot 3}{3}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

8 \cdot 3

24

\frac{- 17 + 24}{3}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 17 + 24

7

▶Integral:

\frac{7}{3}

3) O valor numérico de:

\frac{7}{3}

vale:

▷

\approx 2,3333