integral entre 2 e 5 de (4x-2) — solução passo a passo

1) Vamos calcular a integral:

\int_{2}^{5} (4 x - 2) d x

ⅰ

\int (4 x - 2) d x

\int 4 x d x - \int 2 d x

\int 4 x d x - \int 2 d x

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int 4 x d x

4 \cdot \frac{x^{2}}{2}

■A derivada de

- 2 x

-2

, pelo que

- 2 x

é uma primitiva de

-2

- \int 2 d x

- 2 x

4 \cdot \frac{x^{2}}{2} - 2 x

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

4 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{4 x^{2}}{2}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{4 x^{2}}{2}

2 x^{2}

2 x^{2} - 2 x

Podemos fatorizar a expressão como:

x \cdot (2 x - 2)

Vamos fatorizar em

ℝ

(2 x - 2)

Colocamos em evidência

2

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

2 x - 2

2 \cdot (x - 1)

Fator encontrado:

x - 1

▷

2 x \cdot (x - 1)

2) Vamos avaliar no intervalo

[2; 5]

2 \cdot 5 \cdot (5 - 1) - 2 \cdot 2 \cdot (2 - 1)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 5

10

2 \cdot 2

4

■Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

5 - 1

4

2 - 1

1

■Multiplicar por 1 não altera o valor:

4 \cdot 1

4

10 \cdot 4 - 4

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

10 \cdot 4

40

40 - 4

ⓘ Partimos de

40

e recuamos

4

na reta numérica:

40 - 4

36

▶Integral:

36