integral entre -1 e 1 de 4-4x^2 — solução passo a passo

1) Vamos calcular a integral:

\int_{-1}^{1} (4 - 4 x^{2}) d x

ⅰ

\int (4 - 4 x^{2}) d x

\int 4 d x - \int 4 x^{2} d x

\int 4 d x - \int 4 x^{2} d x

ⓘ A derivada de

4 x

4

, pelo que

4 x

é uma primitiva de

4

\int 4 d x

4 x

■Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int 4 x^{2} d x

- 4 \cdot \frac{x^{3}}{3}

4 x - 4 \cdot \frac{x^{3}}{3}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

4 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{4 x^{3}}{3}

▷

4 x - \frac{4 x^{3}}{3}

2) Vamos avaliar no intervalo

[-1; 1]

(4 \cdot 1 - \frac{4 \cdot 1^{3}}{3}) - (4 \cdot (-1) - \frac{4 \cdot {(-1)}^{3}}{3})

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (4 \cdot (-1) - \frac{4 \cdot {(-1)}^{3}}{3})

- 4 \cdot (-1) + \frac{4 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

4

- \frac{4}{3}

- 4 \cdot (-1)

+ \frac{4 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

4 - \frac{4}{3}

\frac{3 \cdot 4 - 4}{3}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-4 \cdot (-1)

4

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

4 \cdot (-1)

-4

\frac{3 \cdot 4 - 4}{3} + 4 - \frac{4}{3}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 4

12

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

4 - \frac{4}{3}

\frac{3 \cdot 4 - 4}{3}

\frac{12 - 4}{3} + \frac{3 \cdot 4 - 4}{3}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

12 - 4

8

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 4

12

\frac{8}{3} + \frac{12 - 4}{3}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

12 - 4

8

\frac{8}{3} + \frac{8}{3}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{8}{3} + \frac{8}{3}

\frac{8 + 8}{3}

\frac{8 + 8}{3}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

8 + 8

16

▶Integral:

\frac{16}{3}

3) O valor numérico de:

\frac{16}{3}

vale:

▷

\approx 5,3333