integral entre -1 e 2 de (y+2-y^2) — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int_{-1}^{2} (y + 2 - y^{2}) d y

ⅰ

\int (y + 2 - y^{2}) d y

\int y d y + \int 2 d y - \int y^{2} d y

\int y d y + \int 2 d y - \int y^{2} d y

ⓘ Uma primitiva de

y^{n}

\frac{y^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int y d y

\frac{y^{2}}{2}

- \int y^{2} d y

- \frac{y^{3}}{3}

■A derivada de

2 y

2

, pelo que

2 y

é uma primitiva de

2

\int 2 d y

2 y

▷

\frac{y^{2}}{2} + 2 y - \frac{y^{3}}{3}

2) Vamos avaliar no intervalo

[-1; 2]

(- \frac{2^{3}}{3} + \frac{2^{2}}{2} + 2 \cdot 2) - (- \frac{{(-1)}^{3}}{3} + \frac{{(-1)}^{2}}{2} + 2 \cdot (-1))

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 2

4

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (- \frac{{(-1)}^{3}}{3} + \frac{{(-1)}^{2}}{2} + 2 \cdot (-1))

\frac{{(-1)}^{3}}{3} - \frac{{(-1)}^{2}}{2} - 2 \cdot (-1)

- \frac{8}{3}

+ \frac{4}{2}

+ 4

+ \frac{{(-1)}^{3}}{3}

- \frac{{(-1)}^{2}}{2}

- 2 \cdot (-1)

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

6

, o mínimo múltiplo comum de

3

2

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

- \frac{8}{3} + \frac{4}{2}

\frac{-8 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 3}

\frac{- 8 \cdot 2 + 4 \cdot 3}{3 \cdot 2}

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-2 \cdot (-1)

2

\frac{- 8 \cdot 2 + 4 \cdot 3}{3 \cdot 2}

+ 4

- \frac{1}{3}

- \frac{1}{2}

+ 2

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

8 \cdot 2

16

4 \cdot 3

12

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

4 - \frac{1}{3}

\frac{3 \cdot 4 - 1}{3}

ⅰ

3 \cdot 2

6

\frac{- 16 + 12}{6}

+ \frac{3 \cdot 4 - 1}{3}

- \frac{1}{2}

+ 2

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 16 + 12

-4

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 4

12

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{1}{2} + 2

\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}

- \frac{4}{6} + \frac{12 - 1}{3} + \frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{4}{6}

- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}

- \frac{2}{3}

■O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

12 - 1

11

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 2

4

- \frac{2}{3} + \frac{11}{3} + \frac{- 1 + 4}{2}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{2}{3} + \frac{11}{3}

\frac{- 2 + 11}{3}

■O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 1 + 4

3

\frac{- 2 + 11}{3} + \frac{3}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 2 + 11

9

\frac{9}{3} + \frac{3}{2}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

6

, o mínimo múltiplo comum de

3

2

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

\frac{9}{3} + \frac{3}{2}

\frac{9 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}

\frac{9 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{3 \cdot 2}

\frac{9 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{3 \cdot 2}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

9 \cdot 2

18

3 \cdot 3

9

ⅰ

3 \cdot 2

6

\frac{18 + 9}{6}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

18 + 9

27

\frac{27}{6}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

3

, o seu máximo divisor comum:

\frac{27}{6}

\frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3}

\frac{9}{2}

▶Integral:

\frac{9}{2}

3) O valor numérico de:

\frac{9}{2}

vale:

▷

4,5