integral entre -1 e 3 de x/(x^2+4) — solução passo a passo

1) Vamos calcular a integral:

\int_{-1}^{3} \frac{x}{x^{2} + 4} d x

Para a expressão matemática

\frac{x}{x^{2} + 4}

, sabendo que (ln(a))' = a'/a, tentamos derivar

\ln (x^{2} + 4)

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + 4))

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

x^{2} + 4

ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + 4))

\frac{d}{d x} (x^{2} + 4) \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}

\frac{d}{d x} (x^{2} + 4) \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 4) \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2} + 4}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0}{x^{2} + 4}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

\frac{2 x}{x^{2} + 4}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 4)

\frac{x}{x^{2} + 4}

, pelo que

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 4)

é uma primitiva de

\frac{x}{x^{2} + 4}

\int \frac{x}{x^{2} + 4} d x

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 4)

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 4)

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 4)

\frac{1 \cdot \ln (x^{2} + 4)}{2}

\frac{\ln (x^{2} + 4)}{2}

▷

\frac{\ln (x^{2} + 4)}{2}

3) Vamos avaliar no intervalo

[-1; 3]

\frac{\ln (3^{2} + 4)}{2} - \frac{\ln ({(-1)}^{2} + 4)}{2}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

\frac{\ln (9 + 4)}{2} - \frac{\ln (1 + 4)}{2}

ⓘ Partimos de

9

e avançamos

4

na reta numérica:

9 + 4

13

■Partimos de

1

e avançamos

4

na reta numérica:

1 + 4

5

\frac{\ln (13)}{2} - \frac{\ln (5)}{2}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{\ln (13)}{2} - \frac{\ln (5)}{2}

\frac{\ln (13) - \ln (5)}{2}

\frac{\ln (13) - \ln (5)}{2}

ⓘ Para argumentos estritamente positivos, uma soma de logaritmos é o logaritmo do produto e uma diferença é o do quociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

\ln (13) - \ln (5)

\ln (\frac{13}{5})

▶Integral:

\frac{\ln (\frac{13}{5})}{2}

4) O valor numérico de:

\frac{\ln (\frac{13}{5})}{2}

é:

\frac{\ln (2,6)}{2}

\frac{\approx 0,9555}{2}

▷

\approx 0,4778