integral entre -8 e 0 de (y/8+sqrt(y+9))

1) Vamos calcular a integral:

\int_{-8}^{0} (\frac{y}{8} + \sqrt{y + 9}) d y

Para a expressão matemática

\sqrt{y + 9}

, sabendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), tentamos derivar

{(y + 9)}^{\frac{1}{2} + 1}

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d y} ({(y + 9)}^{\frac{1}{2} + 1})

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{d}{d y} ({(y + 9)}^{\frac{1 + 2}{2}})

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 2

3

\frac{d}{d y} ({(y + 9)}^{\frac{3}{2}})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d y} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d y} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

y + 9

ⓘ A derivada de

y^{n}

n y^{n - 1}

\frac{d}{d y} ({(y + 9)}^{\frac{3}{2}})

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d y} (y + 9) \cdot \sqrt{y + 9}

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d y} (y + 9) \cdot \sqrt{y + 9}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d y} (y + 9) \cdot \sqrt{y + 9}

\frac{3 \cdot \frac{d}{d y} (y + 9) \cdot \sqrt{y + 9}}{2}

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d y} (y + 9)

1 + 0

\frac{3 \cdot (1 + 0) \cdot \sqrt{y + 9}}{2}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

\frac{3 \cdot \sqrt{y + 9}}{2}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⅰ

\int (\frac{y}{8} + \sqrt{y + 9}) d y

\frac{2}{3} \cdot {(y + 9)}^{\frac{3}{2}} + \int \frac{y}{8} d y

\frac{2}{3} \cdot {(y + 9)}^{\frac{3}{2}} + \int \frac{y}{8} d y

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{2}{3} \cdot {(y + 9)}^{\frac{3}{2}}

\frac{2 \cdot {(y + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3}

■Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

y^{n}

\frac{y^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int \frac{y}{8} d y

\frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2}}{2}

\frac{2 \cdot {(y + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2}}{2}

ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2}}{2}

\frac{1 \cdot y^{2}}{8 \cdot 2}

\frac{y^{2}}{16}

▷

\frac{2 \cdot {(y + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{y^{2}}{16}

3) Vamos avaliar no intervalo

[-8; 0]

(\frac{0^{2}}{16} + \frac{2 \cdot {(0 + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{{(-8)}^{2}}{16} + \frac{2 \cdot {(- 8 + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3})

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 9

9

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações:

9^{\frac{3}{2}}

9 \cdot \sqrt{9}

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (\frac{{(-8)}^{2}}{16} + \frac{2 \cdot {(- 8 + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3})

- \frac{{(-8)}^{2}}{16} - \frac{2 \cdot {(- 8 + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3}

0

+ \frac{2 \cdot 9 \cdot \sqrt{9}}{3}

- \frac{{(-8)}^{2}}{16}

- \frac{2 \cdot {(- 8 + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{2 \cdot 9 \cdot \sqrt{9}}{3}

\frac{2 \cdot 9 \cdot \sqrt{9}}{3}

■A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-8)}^{2}

(-8) \cdot (-8)

64

■Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

- 8 + 9

1

ⅰ

2 \cdot 9

18

\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{64}{16} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}

Simplificamos a fração

\frac{64}{16}

pelo fator comum

16

para obter a nova expressão:

4

\frac{54}{3} - 4 - \frac{2}{3}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

3

, o seu máximo divisor comum:

\frac{54}{3}

18

18 - 4 - \frac{2}{3}

ⓘ Partimos de

18

e recuamos

4

na reta numérica:

18 - 4

14

14 - \frac{2}{3}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

14 - \frac{2}{3}

\frac{3 \cdot 14 - 2}{3}

\frac{3 \cdot 14 - 2}{3}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 14

3 \cdot (10 + 4)

3 \cdot 10 + 3 \cdot 4

30 + 12

42

\frac{42 - 2}{3}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

42 - 2

40

▶Integral:

\frac{40}{3}

4) O valor numérico de:

\frac{40}{3}

vale:

▷

\approx 13,3333