integral entre -infinito e 0 de 1/(6-2x)

Vamos integrar:

\int_{-∞}^{0} \frac{1}{6 - 2 x} d x

Fazemos

u = 6 - 2 x

. Então

du = - 2 dx

, pelo que

dx = - \frac{du}{2}

\int \frac{1}{6 - 2 x} d x = - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u} d u

Utilizamos

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. O valor absoluto permite tratar ambos os sinais do denominador, em qualquer intervalo onde

6 - 2 x \neq 0

Substituímos

u

por

6 - 2 x

na primitiva

ⓘ A derivada de

- \frac{1}{2} \cdot \ln | 6 - 2 x |

\frac{1}{6 - 2 x}

, pelo que

- \frac{1}{2} \cdot \ln | 6 - 2 x |

é uma primitiva de

\frac{1}{6 - 2 x}

\int \frac{1}{6 - 2 x} d x

- \frac{1}{2} \cdot \ln | 6 - 2 x |

- \frac{1}{2} \cdot \ln | 6 - 2 x |

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

- \frac{1}{2} \cdot \ln | 6 - 2 x |

- \frac{1 \cdot \ln | 6 - 2 x |}{2}

- \frac{\ln | 6 - 2 x |}{2}

▷

- \frac{\ln | 6 - 2 x |}{2}

Como o extremo

-∞

é infinito, tomamos aí o limite da primitiva

Vamos calcular o limite de

- \frac{\ln | 6 - 2 x |}{2}

quando

x \to -∞

ⓘ Uma quantidade infinitamente grande multiplicada por uma quantidade de limite não nulo continua a ser infinitamente grande; os sinais determinam +∞ ou -∞

O limite de

- 2 x

+∞

quando

x \to -∞

ⓘ Uma quantidade infinitamente grande mais uma quantidade finita ou limitada continua a ser infinitamente grande

O limite de

6 - 2 x

+∞

quando

x \to -∞

ⓘ É um limite conhecido da função abs

O limite de

| 6 - 2 x |

+∞

quando

x \to -∞

ⓘ É um limite conhecido da função ln

O limite de

\ln | 6 - 2 x |

+∞

quando

x \to -∞

ⓘ Uma quantidade infinitamente grande dividida por um número não nulo continua a ser infinitamente grande; os sinais determinam +∞ ou -∞

Portanto, o limite de

- \frac{\ln | 6 - 2 x |}{2}

-∞

quando

x \to -∞

A integral é o valor da primitiva no limite superior menos o do limite inferior:

- \frac{\ln (6)}{2}

- (

-∞

) =

+∞

; portanto, diverge para

+∞

▶Integral:

+∞