integral entre -pi e pi de x*sin(2*x)

1) Vamos integrar:

\int_{- π}^{π} x \cdot \sin (2 x) d x

⇥Para

x \cdot \sin (2 x)

, utilizamos a integração por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

com u1 =

x

e v2' =

\sin (2 x)

⇥Portanto,

u1'

vale

1

⇥1.1) Vamos calcular a integral v2':

\int \sin (2 x) d x

⇥Para obter a integral conhecida de

\sin (u)

, fazemos

u = 2 x

. Então

du = 2 dx

, pelo que

dx = \frac{1}{2} \cdot du

⇥Utilizamos

\int \sin (u) d u = - \cos (u)

e depois substituímos

u = 2 x

⇥ⓘ A derivada de

- \frac{\cos (2 x)}{2}

\sin (2 x)

, pelo que

- \frac{\cos (2 x)}{2}

é uma primitiva de

\sin (2 x)

\int \sin (2 x) d x

- \frac{\cos (2 x)}{2}

⇥

- \frac{\cos (2 x)}{2}

⇥Portanto,

v2

vale

- \frac{\cos (2 x)}{2}

⇥1.2) Vamos calcular

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

x \cdot (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int (- \frac{\cos (2 x)}{2}) d x

⇥Para a expressão matemática

\frac{\cos (2 x)}{2}

, sabendo que (sin(a))' = a'*cos(a), tentamos derivar

\sin (2 x)

⇥1.3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

⇥Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

com f =

2 x

⇥ⓘ A derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

⇥

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

⇥

2 \cdot \cos (2 x)

⇥A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

⇥ⓘ A derivada de

\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)

\frac{\cos (2 x)}{2}

, pelo que

\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)

é uma primitiva de

\frac{\cos (2 x)}{2}

- \int (- \frac{\cos (2 x)}{2}) d x

\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)

⇥

- \frac{x \cdot \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)

\frac{1 \cdot \sin (2 x)}{4}

\frac{\sin (2 x)}{4}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{x \cdot \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}

\frac{2 \cdot (- x \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x)}{4}

⇥

\frac{2 \cdot (- x \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x)}{4}

⇥ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

2 \cdot (- x)

-2 x

⇥

\frac{- 2 x \cdot \cos (2 x) + \sin (2 x)}{4}

Depois continuamos a integração:

ⅰ

\int x \cdot \sin (2 x) d x

\frac{- 2 x \cdot \cos (2 x) + \sin (2 x)}{4}

▷

\frac{- 2 x \cdot \cos (2 x) + \sin (2 x)}{4}

2) Vamos avaliar no intervalo

[- π; π]

\frac{\sin (2 π) - 2 π \cdot \cos (2 π)}{4} - \frac{\sin (2 \cdot (- π)) - 2 \cdot (- π) \cdot \cos (2 \cdot (- π))}{4}

ⓘ cos e sin são periódicas de período 2π:

\sin (2 π)

\sin (0)

\cos (2 π)

\cos (0)

\sin (2 \cdot (- π))

\sin (0)

\cos (2 \cdot (- π))

\cos (0)

■Dois sinais de menos anulam-se:

-2 \cdot (- π)

2 π

\frac{\sin (0) - 2 π \cdot \cos (0)}{4} - \frac{\sin (0) + 2 π \cdot \cos (0)}{4}

ⓘ O seno corresponde à ordenada (eixo vertical) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de

0

radianos a partir do semieixo horizontal positivo, é um valor notável:

\sin (0)

0

■O cosseno corresponde à abcissa (eixo horizontal) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de

0

radianos a partir do semieixo horizontal positivo, é um valor notável:

\cos (0)

1

■Multiplicar por 1 não altera o valor:

2 π \cdot 1

2 π

\frac{0 - 2 π}{4} - \frac{0 + 2 π}{4}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 2 π

- 2 π

0 + 2 π

2 π

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- \frac{2 π}{4} - \frac{2 π}{4}

- π

▶Integral:

- π

3) O valor numérico de:

- π

vale:

▷

\approx -3,1416