integral entre -pi e pi de x*sin(n*x)

A expressão

x \cdot \sin (n x)

contém várias variáveis: escolhemos a variável x para a integração

O parâmetro

n

é real e constante durante a integração. Tratamos primeiro o caso

n \neq 0

1) Vamos calcular a integral:

\int_{- π}^{π} x \cdot \sin (n x) d x

⇥Para

x \cdot \sin (n x)

, utilizamos a integração por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

com u1 =

x

e v2' =

\sin (n x)

⇥Portanto,

u1'

vale

1

⇥1.1) Vamos integrar v2':

\int \sin (n x) d x

⇥Para a expressão matemática

\sin (n x)

, sabendo que (cos(a))' = -a'*sin(a), tentamos derivar

\cos (n x)

⇥1.2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\cos (n x))

⇥Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\cos (f)) = - \frac{d}{d x} (f) \cdot \sin (f)

com f =

n x

⇥ⓘ A derivada de

\cos (x)

- \sin (x)

\frac{d}{d x} (\cos (n x))

- \frac{d}{d x} (n x) \cdot \sin (n x)

⇥

- \frac{d}{d x} (n x) \cdot \sin (n x)

⇥ⓘ Ao derivar em relação a

x

n

é considerado constante. Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (n x)

n \cdot \frac{d}{d x} (x)

n \cdot 1

n

⇥

- n \cdot \sin (n x)

⇥A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

⇥ⓘ A derivada de

\frac{1}{- n} \cdot \cos (n x)

\sin (n x)

, pelo que

\frac{1}{- n} \cdot \cos (n x)

é uma primitiva de

\sin (n x)

\int \sin (n x) d x

\frac{1}{- n} \cdot \cos (n x)

⇥

\frac{1}{- n} \cdot \cos (n x)

⇥ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{1}{- n}

- \frac{1}{n}

⇥

- \frac{1}{n} \cdot \cos (n x)

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

- \frac{1}{n} \cdot \cos (n x)

- \frac{1 \cdot \cos (n x)}{n}

- \frac{\cos (n x)}{n}

⇥

- \frac{\cos (n x)}{n}

⇥Portanto,

v2

vale

- \frac{\cos (n x)}{n}

⇥1.3) Vamos calcular

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

x \cdot (- \frac{\cos (n x)}{n}) - \int (- \frac{\cos (n x)}{n}) d x

⇥Para a expressão matemática

\frac{\cos (n x)}{n}

, sabendo que (sin(a))' = a'*cos(a), tentamos derivar

\sin (n x)

⇥1.4) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\sin (n x))

⇥Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

com f =

n x

⇥ⓘ A derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (n x))

\frac{d}{d x} (n x) \cdot \cos (n x)

⇥

\frac{d}{d x} (n x) \cdot \cos (n x)

⇥ⓘ Ao derivar em relação a

x

n

é considerado constante. Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (n x)

n \cdot \frac{d}{d x} (x)

n \cdot 1

n

⇥

n \cdot \cos (n x)

⇥A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

⇥ⓘ A derivada de

\frac{1}{n \cdot n} \cdot \sin (n x)

\frac{\cos (n x)}{n}

, pelo que

\frac{1}{n \cdot n} \cdot \sin (n x)

é uma primitiva de

\frac{\cos (n x)}{n}

- \int (- \frac{\cos (n x)}{n}) d x

\frac{1}{n \cdot n} \cdot \sin (n x)

⇥

- \frac{x \cdot \cos (n x)}{n} + \frac{1}{n \cdot n} \cdot \sin (n x)

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{n \cdot n} \cdot \sin (n x)

\frac{1 \cdot \sin (n x)}{n \cdot n}

\frac{\sin (n x)}{n^{2}}

⇥

- \frac{x \cdot \cos (n x)}{n} + \frac{\sin (n x)}{n^{2}}

Depois continuamos a integração:

ⅰ

\int x \cdot \sin (n x) d x

- \frac{x \cdot \cos (n x)}{n} + \frac{\sin (n x)}{n^{2}}

▷

- \frac{x \cdot \cos (n x)}{n} + \frac{\sin (n x)}{n^{2}}

2) Vamos avaliar no intervalo

[- π; π]

(\frac{\sin (n π)}{n^{2}} - \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}) - (\frac{\sin (n \cdot (- π))}{n^{2}} - (\frac{- π \cdot \cos (n \cdot (- π))}{n}))

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (\frac{\sin (n \cdot (- π))}{n^{2}} - (\frac{- π \cdot \cos (n \cdot (- π))}{n}))

- \frac{\sin (n \cdot (- π))}{n^{2}} + \frac{- π \cdot \cos (n \cdot (- π))}{n}

\frac{\sin (n π)}{n^{2}}

- \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

- \frac{\sin (n \cdot (- π))}{n^{2}}

+ \frac{- π \cdot \cos (n \cdot (- π))}{n}

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

n \cdot (- π)

- n π

\frac{\sin (n π)}{n^{2}}

- \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

- \frac{\sin (- n π)}{n^{2}}

- \frac{π \cdot \cos (- n π)}{n}

ⓘ sin é ímpar:

\sin (- x) = - \sin (x)

\sin (- n π)

- \sin (n π)

■cos é par:

\cos (- x) = \cos (x)

\cos (- n π)

\cos (n π)

\frac{\sin (n π)}{n^{2}}

- \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

- (\frac{- \sin (n π)}{n^{2}})

- \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

ⓘ Dois sinais de menos anulam-se:

- (\frac{- \sin (n π)}{n^{2}})

\frac{\sin (n π)}{n^{2}}

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- \frac{π \cdot \cos (n π)}{n} - \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

-2 \cdot \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

\frac{\sin (n π)}{n^{2}} - 2 \cdot \frac{π \cdot \cos (n π)}{n} + \frac{\sin (n π)}{n^{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

-2 \cdot \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

\frac{-2 π \cdot \cos (n π)}{n}

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

\frac{\sin (n π)}{n^{2}} + \frac{\sin (n π)}{n^{2}}

2 \cdot \frac{\sin (n π)}{n^{2}}

2 \cdot \frac{\sin (n π)}{n^{2}} - \frac{2 π \cdot \cos (n π)}{n}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{\sin (n π)}{n^{2}}

\frac{2 \cdot \sin (n π)}{n^{2}}

\frac{2 \cdot \sin (n π)}{n^{2}} - \frac{2 π \cdot \cos (n π)}{n}

Para

n = 0

, o integrando é identicamente nulo: a integral vale

0

▶Integral:

{\begin{cases} 0 & se n = 0 \\ \frac{2 \cdot \sin (n π)}{n^{2}} - \frac{2 π \cdot \cos (n π)}{n} & se n \neq 0 \end{cases}