integral entre -pi e pi de x*sin(x/2)

1) Vamos calcular a integral:

\int_{- π}^{π} x \cdot \sin (\frac{x}{2}) d x

⇥Para

x \cdot \sin (\frac{x}{2})

, utilizamos a integração por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

com u1 =

x

e v2' =

\sin (\frac{x}{2})

⇥Portanto,

u1'

vale

1

⇥1.1) Vamos calcular a integral v2':

\int \sin (\frac{x}{2}) d x

⇥Para a expressão matemática

\sin (\frac{x}{2})

, sabendo que (cos(a))' = -a'*sin(a), tentamos derivar

\cos (\frac{x}{2})

⇥1.2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))

⇥Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\cos (f)) = - \frac{d}{d x} (f) \cdot \sin (f)

com f =

\frac{x}{2}

⇥ⓘ A derivada de

\cos (x)

- \sin (x)

\frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))

- \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) \cdot \sin (\frac{x}{2})

⇥

- \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) \cdot \sin (\frac{x}{2})

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

. A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (\frac{x}{2})

\frac{1}{2}

⇥

- \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2})

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

- \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2})

- \frac{1 \cdot \sin (\frac{x}{2})}{2}

- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}

⇥

- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}

⇥A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

⇥ⓘ A derivada de

-2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

\sin (\frac{x}{2})

, pelo que

-2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

é uma primitiva de

\sin (\frac{x}{2})

\int \sin (\frac{x}{2}) d x

-2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

⇥

-2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

⇥Portanto,

v2

vale

- 2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

⇥1.3) Vamos calcular

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

x \cdot (- 2 \cdot \cos (\frac{x}{2})) - \int (- 2 \cdot \cos (\frac{x}{2})) d x

⇥Para a expressão matemática

2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

, sabendo que (sin(a))' = a'*cos(a), tentamos derivar

\sin (\frac{x}{2})

⇥1.4) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\sin (\frac{x}{2}))

⇥Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

com f =

\frac{x}{2}

⇥ⓘ A derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (\frac{x}{2}))

\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) \cdot \cos (\frac{x}{2})

⇥

\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) \cdot \cos (\frac{x}{2})

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

. A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (\frac{x}{2})

\frac{1}{2}

⇥

\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{x}{2})

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{x}{2})

\frac{1 \cdot \cos (\frac{x}{2})}{2}

\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}

⇥

\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}

⇥A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

⇥ⓘ A derivada de

4 \cdot \sin (\frac{x}{2})

2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

, pelo que

4 \cdot \sin (\frac{x}{2})

é uma primitiva de

2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

- \int (- 2 \cdot \cos (\frac{x}{2})) d x

4 \cdot \sin (\frac{x}{2})

⇥

- 2 x \cdot \cos (\frac{x}{2}) + 4 \cdot \sin (\frac{x}{2})

Depois continuamos a integração:

ⅰ

\int x \cdot \sin (\frac{x}{2}) d x

- 2 x \cdot \cos (\frac{x}{2}) + 4 \cdot \sin (\frac{x}{2})

▷

- 2 x \cdot \cos (\frac{x}{2}) + 4 \cdot \sin (\frac{x}{2})

2) Vamos avaliar no intervalo

[- π; π]

(4 \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 π \cdot \cos (\frac{π}{2})) - (4 \cdot \sin (- \frac{π}{2}) - 2 \cdot (- π) \cdot \cos (- \frac{π}{2}))

ⓘ O seno corresponde à ordenada (eixo vertical) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de

\frac{π}{2}

radianos a partir do semieixo horizontal positivo, é um valor notável:

\sin (\frac{π}{2})

1

■Multiplicar por 1 não altera o valor:

4 \cdot 1

4

■O cosseno corresponde à abcissa (eixo horizontal) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de

\frac{π}{2}

radianos a partir do semieixo horizontal positivo, é um valor notável:

\cos (\frac{π}{2})

0

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (4 \cdot \sin (- \frac{π}{2}) - 2 \cdot (- π) \cdot \cos (- \frac{π}{2}))

- 4 \cdot \sin (- \frac{π}{2}) + 2 \cdot (- π) \cdot \cos (- \frac{π}{2})

4

- 2 π \cdot 0

- 4 \cdot \sin (- \frac{π}{2})

+ 2 \cdot (- π) \cdot \cos (- \frac{π}{2})

ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

2 π \cdot 0

0

■sin é ímpar:

\sin (- x) = - \sin (x)

\sin (- \frac{π}{2})

- \sin (\frac{π}{2})

■cos é par:

\cos (- x) = \cos (x)

\cos (- \frac{π}{2})

\cos (\frac{π}{2})

■Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

2 \cdot (- π)

-2 π

4

+ 0

- 4 \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))

- 2 π \cdot \cos (\frac{π}{2})

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 4 \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))

-4 \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))

■O seno corresponde à ordenada (eixo vertical) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de

\frac{π}{2}

radianos a partir do semieixo horizontal positivo, é um valor notável:

- \sin (\frac{π}{2})

-1

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

-4 \cdot (-1)

4

■O cosseno corresponde à abcissa (eixo horizontal) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de

\frac{π}{2}

radianos a partir do semieixo horizontal positivo, é um valor notável:

\cos (\frac{π}{2})

0

4 + 4 - 2 π \cdot 0

ⓘ Partimos de

4

e avançamos

4

na reta numérica:

4 + 4

8

■Um produto com um fator nulo é nulo:

2 π \cdot 0

0

8 + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

8 + 0

8

▶Integral:

8