integral tripla de x — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int x d x

ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int x d x

\frac{x^{2}}{2}

\frac{x^{2}}{2}

As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{x^{2}}{2} + C

2) Vamos calcular a integral:

\int (\frac{x^{2}}{2} + C) d x

ⅰ

\int (\frac{x^{2}}{2} + C) d x

\int \frac{x^{2}}{2} d x + \int C d x

\int \frac{x^{2}}{2} d x + \int C d x

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int \frac{x^{2}}{2} d x

\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3}}{3}

■A derivada de

C x

C

, pelo que

C x

é uma primitiva de

C

\int C d x

C x

\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3}}{3} + C x

ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{1 \cdot x^{3}}{2 \cdot 3}

\frac{x^{3}}{6}

\frac{x^{3}}{6} + C x

As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C1, o que dá:

\frac{x^{3}}{6} + C x + C1

3) Vamos calcular a integral:

\int (\frac{x^{3}}{6} + C x + C1) d x

ⅰ

\int (\frac{x^{3}}{6} + C x + C1) d x

\int \frac{x^{3}}{6} d x + \int C x d x + \int C1 d x

\int \frac{x^{3}}{6} d x + \int C x d x + \int C1 d x

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int \frac{x^{3}}{6} d x

\frac{1}{6} \cdot \frac{x^{4}}{4}

\int C x d x

C \cdot \frac{x^{2}}{2}

■A derivada de

C1 \cdot x

C1

, pelo que

C1 \cdot x

é uma primitiva de

C1

\int C1 d x

C1 \cdot x

\frac{1}{6} \cdot \frac{x^{4}}{4} + C \cdot \frac{x^{2}}{2} + C1 \cdot x

ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{1}{6} \cdot \frac{x^{4}}{4}

\frac{1 \cdot x^{4}}{6 \cdot 4}

\frac{x^{4}}{24}

■Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

C \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{C x^{2}}{2}

\frac{x^{4}}{24} + \frac{C x^{2}}{2} + C1 \cdot x

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C2, o que dá:

\frac{x^{4}}{24}

+ \frac{C x^{2}}{2}

+ C1 \cdot x

+ C2

, onde C, C1 e C2 são 3 constantes