intersecões com os eixos de f(x)=(2x^2-3x-20)/(x-5)

No eixo das abcissas, y = 0: vamos resolver

\frac{2 x^{2} - 3 x - 20}{x - 5} = 0

1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{2 x^{2} - 3 x - 20}{x - 5} = 0

Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

2 x^{2} - 3 x - 20 = 0

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 2

b = -3

c = -20

⇥

Δ = {(-3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-20)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-3)}^{2}

(-3) \cdot (-3)

9

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 2

8

■Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 8 \cdot (-20)

8 \cdot 20

⇥

Δ = 9 + 8 \cdot 20

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

8 \cdot 20

160

⇥

Δ = 9 + 160

⇥ⓘ Partimos de

9

e avançamos

160

na reta numérica:

9 + 160

169

⇥

Δ = 169

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-3) - \sqrt{169}}{2 \cdot 2}

⇥

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{169}}{2 \cdot 2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{169}

13

pois

13^{2}

169

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥

x_{1} = \frac{3 - 13}{4}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

3 - 13

-10

⇥

x_{1} = - \frac{10}{4}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{10}{4}

- \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{5}{2}

⇥

x_{1} = - \frac{5}{2}

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-3) + \sqrt{169}}{2 \cdot 2}

⇥

x_{2} = \frac{3 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{169}

13

pois

13^{2}

169

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥

x_{2} = \frac{3 + 13}{4}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

3 + 13

16

⇥

x_{2} = \frac{16}{4}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

\frac{16}{4}

4

⇥

x_{2} = 4

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = {- \frac{5}{2}; 4}

⇥1.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

x - 5 \neq 0

⇥Condição de definição:

x \neq 5

Para que a expressão

\frac{2 x^{2} - 3 x - 20}{x - 5}

esteja definida, é necessário:

x - 5 \neq 0

Restrições do domínio:

x \neq 5

A curva interseta o eixo das abcissas em

{(- \frac{5}{2}; 0); (4; 0)}

No eixo das ordenadas,

x = 0

: vamos calcular f(0)

⇥

\frac{2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 - 20}{0 - 5}

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

2 \cdot 0

0

-3 \cdot 0

0

■Somar 0 não altera o valor:

0 - 5

-5

■O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{0 + 0 - 20}{-5}

- \frac{0 + 0 - 20}{5}

⇥

- \frac{0 + 0 - 20}{5}

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 0 - 20

-20

■Dois sinais de menos anulam-se:

- (\frac{-20}{5})

\frac{20}{5}

⇥

\frac{20}{5}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

5

, o seu máximo divisor comum:

\frac{20}{5}

4

⇥

4

▶Interseções com os eixos:

{(- \frac{5}{2}; 0); (4; 0); (0; 4)}