intersecões com os eixos de f(x)=(x-4)/(x^2-12x+32)

No eixo das abcissas, y = 0: vamos resolver

\frac{x - 4}{x^{2} - 12 x + 32} = 0

1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{x - 4}{x^{2} - 12 x + 32} = 0

Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

x - 4 = 0

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = 4

⇥1.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

x^{2} - 12 x + 32 \neq 0

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -12

c = 32

⇥

Δ = {(-12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 32

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-12)}^{2}

(-12) \cdot (-12)

144

⇥

Δ = 144 - 4 \cdot 32

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 32

4 \cdot (30 + 2)

4 \cdot 30 + 4 \cdot 2

120 + 8

128

⇥

Δ = 144 - 128

⇥ⓘ Partimos de

144

e recuamos

128

na reta numérica:

144 - 128

16

⇥

Δ = 16

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-12) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{12 - \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{16}

4

pois

4^{2}

16

⇥

x_{1} = \frac{12 - 4}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

12 - 4

8

⇥

x_{1} = \frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{8}{2}

4

⇥

x_{1} = 4

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-12) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{12 + \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{16}

4

pois

4^{2}

16

⇥

x_{2} = \frac{12 + 4}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

12 + 4

16

⇥

x_{2} = \frac{16}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{16}{2}

8

⇥

x_{2} = 8

⇥Soluções obtidas:

x \notin {4; 8}

Para que a expressão

\frac{x - 4}{x^{2} - 12 x + 32}

esteja definida, é necessário:

x^{2} - 12 x + 32 \neq 0

x^{2} - 12 x + 32 \neq 0

já foi resolvido:

x \notin {4; 8}

Restrições do domínio:

x \in ℝ \ {4; 8}

A curva não interseta o eixo das abcissas

No eixo das ordenadas,

x = 0

: vamos calcular f(0)

⇥

\frac{0 - 4}{0^{2} - 12 \cdot 0 + 32}

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 4

-4

0 + 32

32

■Um produto com um fator nulo é nulo:

-12 \cdot 0

0

⇥

- \frac{4}{0 + 32}

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 32

32

■Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{4}{32}

- \frac{1 \cdot 4}{8 \cdot 4}

- \frac{1}{8}

⇥

- \frac{1}{8}

▶Interseções com os eixos:

(0; - \frac{1}{8})