intersecões com os eixos de f(x)=x^6-7x^3-8

No eixo das abcissas, y = 0: vamos resolver

x^{6} - 7 x^{3} - 8 = 0

⇥1) Vamos resolver em

ℝ

x^{6} - 7 x^{3} - 8 = 0

⇥Vamos definir:

X = x^{3}

⇥Podemos transformar a expressão em:

X^{2} - 7 X - 8 = 0

⇥Dada a forma quadrática

a X^{2} + b X + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -7

c = -8

⇥

Δ = {(-7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-7)}^{2}

(-7) \cdot (-7)

49

⇥

Δ = 49 - 4 \cdot (-8)

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-8)

32

⇥

Δ = 49 + 32

⇥ⓘ Partimos de

49

e avançamos

32

na reta numérica:

49 + 32

81

⇥

Δ = 81

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

X_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{1} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{81}

9

pois

9^{2}

81

⇥

X_{1} = \frac{7 - 9}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

7 - 9

-2

⇥

X_{1} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{2}

-1

⇥

X_{1} = -1

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

X_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{2} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{81}

9

pois

9^{2}

81

⇥

X_{2} = \frac{7 + 9}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

7 + 9

16

⇥

X_{2} = \frac{16}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{16}{2}

8

⇥

X_{2} = 8

⇥Soluções encontradas:

X = {-1; 8}

⇥2) Vamos resolver para x:

X = x^{3}

utilizando

X = -1

⇥

x^{3} = -1

⇥Tomamos a raiz:

- \sqrt[3]{1} = -1

. Como a potência é ímpar,

x^{3} = -1

tem uma única solução real,

-1

⇥Solução obtida:

x = -1

⇥3) Vamos resolver para x:

X = x^{3}

utilizando

X = 8

⇥

x^{3} = 8

⇥Tomamos a raiz:

\sqrt[3]{8} = 2

. Como a potência é ímpar,

x^{3} = 8

tem uma única solução real,

2

⇥Solução encontrada:

x = 2

No eixo das ordenadas,

x = 0

: vamos calcular f(0)

⇥

0^{6} - 7 \cdot 0^{3} - 8

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

-7 \cdot 0

0

■Somar 0 não altera o valor:

0 - 8

-8

⇥

0 - 8

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 8

-8

⇥

-8

▶Interseções com os eixos:

{(-1; 0); (2; 0); (0; -8)}