intersecões com os eixos de -4x^2+6x-1

No eixo das abcissas, y = 0: vamos resolver

- 4 x^{2} + 6 x - 1 = 0

Vamos resolver em

ℝ

- 4 x^{2} + 6 x - 1 = 0

Como

-1 \neq 0

, dividimos ambos os membros por

-1

4 x^{2} - 6 x + 1 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 4

b = -6

c = 1

Δ = {(-6)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-6)}^{2}

(-6) \cdot (-6)

36

Δ = 36 - 4 \cdot 4

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 4

16

Δ = 36 - 16

ⓘ Partimos de

36

e recuamos

16

na reta numérica:

36 - 16

20

Δ = 20

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) - \sqrt{20}}{2 \cdot 4}

x_{1} = \frac{6 - \sqrt{20}}{2 \cdot 4}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

20

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{20}

\sqrt{4 \cdot 5}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{5}

2 \cdot \sqrt{5}

ⅰ

2 \cdot 4

8

x_{1} = \frac{6 - 2 \cdot \sqrt{5}}{8}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{6 - 2 \cdot \sqrt{5}}{8}

\frac{3 - \sqrt{5}}{4}

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) + \sqrt{20}}{2 \cdot 4}

x_{2} = \frac{6 + \sqrt{20}}{2 \cdot 4}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

20

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{20}

\sqrt{4 \cdot 5}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{5}

2 \cdot \sqrt{5}

ⅰ

2 \cdot 4

8

x_{2} = \frac{6 + 2 \cdot \sqrt{5}}{8}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{6 + 2 \cdot \sqrt{5}}{8}

\frac{3 + \sqrt{5}}{4}

x_{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}

Soluções obtidas:

x = {\frac{3 - \sqrt{5}}{4}; \frac{3 + \sqrt{5}}{4}}

No eixo das ordenadas,

x = 0

: vamos calcular f(0)

⇥

- 4 \cdot 0^{2} + 6 \cdot 0 - 1

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

-4 \cdot 0

0

6 \cdot 0

0

⇥

0 + 0 - 1

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 0 - 1

-1

⇥

-1

▶Interseções com os eixos:

{(\frac{3 - \sqrt{5}}{4}; 0); (\frac{3 + \sqrt{5}}{4}; 0); (0; -1)}