inversa de 4^x — solução passo a passo

Uma exponencial de base positiva diferente de 1 e expoente afim não constante é estritamente monótona em ℝ e assume todos os valores estritamente positivos

Vamos exprimir a entrada

x

em função da saída

y

y = 4^{x}

⇥1) Vamos resolver em

ℝ

4^{x} = y

⇥Como o logaritmo só está definido para números estritamente positivos, aplicamos a função ln a ambos os membros, desde que

y > 0

⇥

\ln (4^{x}) = \ln (y)

⇥ⓘ No domínio real da expressão inicial, a base é estritamente positiva: o logaritmo da potência é o expoente multiplicado pelo logaritmo da base:

\ln (4^{x})

x \cdot \ln (4)

⇥

x \cdot \ln (4) = \ln (y)

⇥ⓘ O logaritmo de uma potência é um múltiplo do logaritmo,

\ln (a^{n}) = n \cdot \ln (a)

\ln (4)

\ln (2^{2})

2 \cdot \ln (2)

⇥

x \cdot 2 \cdot \ln (2) = \ln (y)

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2 \cdot \ln (2)

⇥Solução obtida:

x = \frac{\ln (y)}{2 \cdot \ln (2)}

⇥2) Vamos resolver para y:

y > 0

⇥Solução encontrada:

y > 0

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

\frac{\ln (x)}{2 \cdot \ln (2)}

, com domínio

x > 0

, a condição obtida ao isolar a entrada

▶Função inversa:

\frac{\ln (x)}{2 \cdot \ln (2)}