inversa de f(x)=1+1/(x-3) — solução passo a passo

1) Vamos somar as frações:

1 + \frac{1}{x - 3}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

1 + \frac{1}{x - 3}

\frac{(x - 3) + 1}{x - 3}

\frac{(x - 3) + 1}{x - 3}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 3 + 1

-2

\frac{x - 2}{x - 3}

2) Para uma função

\frac{a x + b}{c x + d}

, duas entradas u e v com a mesma imagem satisfazem

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

após multiplicar pelos denominadores. Aqui,

- 3 + 2

-1

≠ 0, pelo que u = v. Assim, a função tem uma inversa na sua imagem

Vamos exprimir a entrada

x

em função da saída

y

y = \frac{x - 2}{x - 3}

⇥2.1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{x - 2}{x - 3} = y

⇥2.2) Vamos somar as frações:

\frac{x - 2}{x - 3} - y = 0

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{x - 2}{x - 3} - y

\frac{(x - 2) - y \cdot (x - 3)}{x - 3}

⇥

\frac{(x - 2) - y \cdot (x - 3)}{x - 3} = 0

⇥

\frac{x - 2 - y \cdot (x - 3)}{x - 3} = 0

⇥Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥⇥2.2.1) Vamos resolver em

ℝ

x - 2 - y \cdot (x - 3) = 0

⇥⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- y \cdot (x - 3)

- (y x + y \cdot (-3))

⇥⇥

x - 2 - (y x + y \cdot (-3)) = 0

⇥⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (y x + y \cdot (-3))

- y \cdot x - y \cdot (-3)

⇥⇥

x

- 2

- y \cdot x

- y \cdot (-3) = 0

⇥⇥ⓘ Dois sinais de menos anulam-se:

- y \cdot (-3)

3 y

⇥⇥

x

- 2

- y x

+ 3 y = 0

⇥⇥

x - y x = 2 - 3 y

⇥⇥

(1 - y) \cdot x = 2 - 3 y

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

(1 - y)

, que deve ser não nulo:

y \neq 1

⇥⇥Solução encontrada:

x = \frac{2 - 3 y}{1 - y}

⇥⇥2.2.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

x - 3 \neq 0

⇥⇥Condição de definição:

x \neq 3

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

\frac{2 - 3 x}{1 - x}

, com domínio

x \neq 1

, a condição obtida ao isolar a entrada

▶Função inversa:

\frac{2 - 3 x}{1 - x}