inversa de f(x)=1/x-1 — solução passo a passo

1) Vamos somar as frações:

\frac{1}{x} - 1

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1}{x} - 1

\frac{1 - 1 \cdot x}{x}

\frac{1 - 1 \cdot x}{x}

ⓘ Multiplicar por 1 não altera o valor:

1 \cdot x

x

\frac{1 - x}{x}

2) Para uma função

\frac{a x + b}{c x + d}

, duas entradas u e v com a mesma imagem satisfazem

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

após multiplicar pelos denominadores. Aqui,

- 1 \cdot 0 - 1

-1

≠ 0, pelo que u = v. Assim, a função tem uma inversa na sua imagem

Vamos exprimir a entrada

x

em função da saída

y

y = \frac{1 - x}{x}

⇥2.1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{1 - x}{x} = y

⇥2.2) Vamos somar as frações:

\frac{1 - x}{x} - y = 0

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1 - x}{x} - y

\frac{(1 - x) - y \cdot x}{x}

⇥

\frac{(1 - x) - y \cdot x}{x} = 0

⇥

\frac{1 - x - y x}{x} = 0

⇥Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥⇥2.2.1) Vamos resolver em

ℝ

1 - x - y x = 0

⇥⇥

- x - y x = -1

⇥⇥

(- 1 - y) \cdot x = -1

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

(- 1 - y)

, que deve ser não nulo:

y \neq -1

⇥⇥

x = - \frac{1}{- 1 - y}

⇥⇥ⓘ Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 1 - y

- (1 + y)

⇥⇥

x = - \frac{1}{- (1 + y)}

⇥⇥ⓘ Dois sinais de menos anulam-se:

- \frac{1}{- (1 + y)}

\frac{1}{1 + y}

⇥⇥

x = \frac{1}{1 + y}

⇥⇥Solução encontrada:

x = \frac{1}{y + 1}

⇥⇥2.2.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

x \neq 0

⇥⇥Condição de definição:

x \neq 0

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

\frac{1}{x + 1}

, com domínio

x \neq -1

, a condição obtida ao isolar a entrada

▶Função inversa:

\frac{1}{x + 1}