inversa de f(x)=4sqrt(2x+4)-3 — solução passo a passo

A função é estritamente monótona em

x \geq -2

: tem uma inversa na sua imagem

y \geq -3

Isolamos a raiz:

\sqrt{2 x + 4} = \frac{y + 3}{4}

, com

y \geq -3

. Sob esta condição, elevar ao quadrado dá

2 x + 4 = {(\frac{y + 3}{4})}^{2}

Vamos resolver em

ℝ

2 x + 4 = {(\frac{y + 3}{4})}^{2}

ⓘ Subtraímos

4

a ambos os membros

2 x = {(\frac{y + 3}{4})}^{2} - 4

ⓘ A potência de um quociente é o quociente das potências,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{y + 3}{4})}^{2}

\frac{{(y + 3)}^{2}}{4^{2}}

2 x = \frac{{(y + 3)}^{2}}{4^{2}} - 4

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

4^{2}

4 \cdot 4

16

2 x = \frac{{(y + 3)}^{2}}{16} - 4

ⓘ Elevar uma soma a uma potência inteira estritamente positiva consiste em multiplicá-la por si mesma tantas vezes quantas indica o expoente:

{(y + 3)}^{2}

(y + 3) \cdot (y + 3)

2 x = \frac{(y + 3) \cdot (y + 3)}{16} - 4

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(y + 3) \cdot (y + 3)

y \cdot y

+ y \cdot 3

+ 3 y

+ 3 \cdot 3

2 x = \frac{y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3}{16} - 4

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

y \cdot y

y^{2}

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

y \cdot 3 + 3 y

6 y

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 3

9

2 x = \frac{y^{2} + 6 y + 9}{16} - 4

ⅰ

\frac{y^{2} + 6 y + 9}{16} - 4

\frac{(y^{2} + 6 y + 9) + 16 \cdot (-4)}{16}

2 x = \frac{(y^{2} + 6 y + 9) + 16 \cdot (-4)}{16}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

16 \cdot (-4)

- 16 \cdot 4

- (10 + 6) \cdot 4

- (10 \cdot 4 + 6 \cdot 4)

- (40 + 24)

-64

2 x = \frac{y^{2} + 6 y + 9 - 64}{16}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

9 - 64

-55

2 x = \frac{y^{2} + 6 y - 55}{16}

ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

x = \frac{\frac{y^{2} + 6 y - 55}{16}}{2}

ⓘ Dividir uma fração por

2

equivale a multiplicar o seu denominador por

2

\frac{\frac{y^{2} + 6 y - 55}{16}}{2}

\frac{y^{2} + 6 y - 55}{16 \cdot 2}

x = \frac{y^{2} + 6 y - 55}{16 \cdot 2}

ⅰ

16 \cdot 2

(10 + 6) \cdot 2

10 \cdot 2 + 6 \cdot 2

20 + 12

32

Solução encontrada:

x = \frac{y^{2} + 6 y - 55}{32}

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

\frac{x^{2} + 6 x - 55}{32}

, com domínio

x \geq -3

▶Função inversa:

(\frac{x^{2} + 6 x - 55}{32} para x \geq -3)