inversa de f(x)=6/(5-x) — solução passo a passo

1) Para uma função

\frac{a x + b}{c x + d}

, duas entradas u e v com a mesma imagem satisfazem

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

após multiplicar pelos denominadores. Aqui,

0 \cdot 5 - 6 \cdot (-1)

6

≠ 0, pelo que u = v. Assim, a função tem uma inversa na sua imagem

Vamos exprimir a entrada

x

em função da saída

y

y = \frac{6}{5 - x}

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{6}{5 - x} = y

⇥1.2) Vamos somar as frações:

\frac{6}{5 - x} - y = 0

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{6}{5 - x} - y

\frac{6 - y \cdot (5 - x)}{5 - x}

⇥

\frac{6 - y \cdot (5 - x)}{5 - x} = 0

⇥Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥⇥1.2.1) Vamos resolver em

ℝ

6 - y \cdot (5 - x) = 0

⇥⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- y \cdot (5 - x)

- (y \cdot 5 + y \cdot (- x))

⇥⇥

6 - (y \cdot 5 + y \cdot (- x)) = 0

⇥⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (y \cdot 5 + y \cdot (- x))

- y \cdot 5 - y \cdot (- x)

⇥⇥

6 - y \cdot 5 - y \cdot (- x) = 0

⇥⇥ⓘ Dois sinais de menos anulam-se:

- y \cdot (- x)

y x

⇥⇥

6 - y \cdot 5 + y x = 0

⇥⇥

y x = - 6 + y \cdot 5

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

y

, que deve ser não nulo:

y \neq 0

⇥⇥Solução encontrada:

x = \frac{5 y - 6}{y}

⇥⇥1.2.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

5 - x \neq 0

⇥⇥Condição de definição:

x \neq 5

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

\frac{5 x - 6}{x}

, com domínio

x \neq 0

, a condição obtida ao isolar a entrada

▶Função inversa:

\frac{5 x - 6}{x}