inversa de f(x)=a^x — solução passo a passo

Uma exponencial de base positiva diferente de 1 e expoente afim não constante é estritamente monótona em ℝ e assume todos os valores estritamente positivos

Vamos exprimir a entrada

x

em função da saída

y

y = a^{x}

⇥1) Vamos resolver em

ℝ

a^{x} = y

⇥Como o logaritmo só está definido para números estritamente positivos e uma base igual a 1 dá sempre 1, aplicamos a função ln a ambos os membros, desde que

a > 0

a \neq 1

y > 0

⇥

\ln (a^{x}) = \ln (y)

⇥

x \cdot \ln (a) = \ln (y)

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

\ln (a)

, que deve ser não nulo:

a \neq 1

⇥Solução obtida:

x = \frac{\ln (y)}{\ln (a)}

⇥2) Vamos resolver para a:

a > 0

⇥Solução obtida:

a > 0

⇥3) Vamos resolver para a:

a \neq 1

utilizando

a > 0

⇥Vamos construir o quadro das diferentes soluções para encontrar a solução global:

⇥

$a$	$-∞$		$0$		$1$		$+∞$
$a > 0$		❌	❌	✅	✅	✅
$a \neq 1$		✅	✅	✅	❌	✅
Solução global		❌	❌	✅	❌	✅

⇥A interseção de

a > 0

a \neq 1

dá

a \in] 0; 1 [\cup] 1; +∞ [

⇥4) Vamos resolver para y:

y > 0

⇥Solução obtida:

y > 0

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

\frac{\ln (x)}{\ln (a)}

, com domínio

{x > 0; a \in] 0; 1 [\cup] 1; +∞ [}

▶Função inversa:

\frac{\ln (x)}{\ln (a)}