inversa de f(x)=(4x)/(3-7x) — solução passo a passo

1) Para uma função

\frac{a x + b}{c x + d}

, duas entradas u e v com a mesma imagem satisfazem

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

após multiplicar pelos denominadores. Aqui,

4 \cdot 3 - 0 \cdot (-7)

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≠ 0, pelo que u = v. Assim, a função tem uma inversa na sua imagem

Vamos exprimir a entrada

x

em função da saída

y

y = \frac{4 x}{3 - 7 x}

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{4 x}{3 - 7 x} = y

⇥1.2) Vamos somar as frações:

\frac{4 x}{3 - 7 x} - y = 0

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{4 x}{3 - 7 x} - y

\frac{4 x - y \cdot (3 - 7 x)}{3 - 7 x}

⇥

\frac{4 x - y \cdot (3 - 7 x)}{3 - 7 x} = 0

⇥Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥⇥1.2.1) Vamos resolver em

ℝ

4 x - y \cdot (3 - 7 x) = 0

⇥⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- y \cdot (3 - 7 x)

- (y \cdot 3 + y \cdot (-7) x)

⇥⇥

4 x - (y \cdot 3 + y \cdot (-7) x) = 0

⇥⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (y \cdot 3 + y \cdot (-7) x)

- y \cdot 3 - y \cdot (-7) x

⇥⇥

4 x - y \cdot 3 - y \cdot (-7) x = 0

⇥⇥ⓘ Dois sinais de menos anulam-se:

- y \cdot (-7)

7 y

⇥⇥

4 x - y \cdot 3 + 7 y x = 0

⇥⇥

4 x + 7 y x = y \cdot 3

⇥⇥

(4 + 7 y) \cdot x = y \cdot 3

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

(4 + 7 y)

, que deve ser não nulo:

y \neq - \frac{4}{7}

⇥⇥Solução encontrada:

x = \frac{3 y}{7 y + 4}

⇥⇥1.2.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

3 - 7 x \neq 0

⇥⇥

7 x \neq 3

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

7

⇥⇥Condição de definição:

x \neq \frac{3}{7}

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

\frac{3 x}{7 x + 4}

, com domínio

x \neq - \frac{4}{7}

, a condição obtida ao isolar a entrada

▶Função inversa:

\frac{3 x}{7 x + 4}