inversa de f(x)=(5x+4)/(x+5) — solução passo a passo

1) Para uma função

\frac{a x + b}{c x + d}

, duas entradas u e v com a mesma imagem satisfazem

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

após multiplicar pelos denominadores. Aqui,

5 \cdot 5 - 4

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≠ 0, pelo que u = v. Assim, a função tem uma inversa na sua imagem

Vamos exprimir a entrada

x

em função da saída

y

y = \frac{5 x + 4}{x + 5}

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{5 x + 4}{x + 5} = y

⇥1.2) Vamos somar as frações:

\frac{5 x + 4}{x + 5} - y = 0

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{5 x + 4}{x + 5} - y

\frac{(5 x + 4) - y \cdot (x + 5)}{x + 5}

⇥

\frac{(5 x + 4) - y \cdot (x + 5)}{x + 5} = 0

⇥

\frac{5 x + 4 - y \cdot (x + 5)}{x + 5} = 0

⇥Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥⇥1.2.1) Vamos resolver em

ℝ

5 x + 4 - y \cdot (x + 5) = 0

⇥⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- y \cdot (x + 5)

- (y x + y \cdot 5)

⇥⇥

5 x + 4 - (y x + y \cdot 5) = 0

⇥⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (y x + y \cdot 5)

- y \cdot x - y \cdot 5

⇥⇥

5 x

+ 4

- y \cdot x

- y \cdot 5 = 0

⇥⇥

5 x - y x = - 4 + y \cdot 5

⇥⇥

(5 - y) \cdot x = - 4 + y \cdot 5

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

(5 - y)

, que deve ser não nulo:

y \neq 5

⇥⇥Solução encontrada:

x = \frac{5 y - 4}{5 - y}

⇥⇥1.2.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

x + 5 \neq 0

⇥⇥Condição de definição:

x \neq -5

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

\frac{5 x - 4}{5 - x}

, com domínio

x \neq 5

, a condição obtida ao isolar a entrada

▶Função inversa:

\frac{5 x - 4}{5 - x}