inversa de f(x)=(6x+4)/(x-1) — solução passo a passo

1) Para uma função

\frac{a x + b}{c x + d}

, duas entradas u e v com a mesma imagem satisfazem

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

após multiplicar pelos denominadores. Aqui,

6 \cdot (-1) - 4

-10

≠ 0, pelo que u = v. Assim, a função tem uma inversa na sua imagem

Vamos exprimir a entrada

x

em função da saída

y

y = \frac{6 x + 4}{x - 1}

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{6 x + 4}{x - 1} = y

⇥1.2) Vamos somar as frações:

\frac{6 x + 4}{x - 1} - y = 0

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{6 x + 4}{x - 1} - y

\frac{(6 x + 4) - y \cdot (x - 1)}{x - 1}

⇥

\frac{(6 x + 4) - y \cdot (x - 1)}{x - 1} = 0

⇥

\frac{6 x + 4 - y \cdot (x - 1)}{x - 1} = 0

⇥Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥⇥1.2.1) Vamos resolver em

ℝ

6 x + 4 - y \cdot (x - 1) = 0

⇥⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- y \cdot (x - 1)

- (y x - y)

⇥⇥

6 x + 4 - (y x - y) = 0

⇥⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (y x - y)

- y \cdot x + y

⇥⇥

6 x

+ 4

- y \cdot x

+ y = 0

⇥⇥

6 x - y x = - 4 - y

⇥⇥

(6 - y) \cdot x = - 4 - y

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

(6 - y)

, que deve ser não nulo:

y \neq 6

⇥⇥

x = \frac{- 4 - y}{6 - y}

⇥⇥ⓘ Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 4 - y

- (4 + y)

⇥⇥

x = - \frac{4 + y}{6 - y}

⇥⇥Solução obtida:

x = - \frac{y + 4}{6 - y}

⇥⇥1.2.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

x - 1 \neq 0

⇥⇥Condição de definição:

x \neq 1

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

- \frac{x + 4}{6 - x}

, com domínio

x \neq 6

, a condição obtida ao isolar a entrada

▶Função inversa:

- \frac{x + 4}{6 - x}