inversa de f(x)=((4x-1))/((2x+3))

1) Para uma função

\frac{a x + b}{c x + d}

, duas entradas u e v com a mesma imagem satisfazem

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

após multiplicar pelos denominadores. Aqui,

4 \cdot 3 - (-1 \cdot 2)

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≠ 0, pelo que u = v. Assim, a função tem uma inversa na sua imagem

Vamos exprimir a entrada

x

em função da saída

y

y = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{4 x - 1}{2 x + 3} = y

⇥1.2) Vamos somar as frações:

\frac{4 x - 1}{2 x + 3} - y = 0

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{4 x - 1}{2 x + 3} - y

\frac{(4 x - 1) - y \cdot (2 x + 3)}{2 x + 3}

⇥

\frac{(4 x - 1) - y \cdot (2 x + 3)}{2 x + 3} = 0

⇥

\frac{4 x - 1 - y \cdot (2 x + 3)}{2 x + 3} = 0

⇥Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥⇥1.2.1) Vamos resolver em

ℝ

4 x - 1 - y \cdot (2 x + 3) = 0

⇥⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- y \cdot (2 x + 3)

- (y \cdot 2 x + y \cdot 3)

⇥⇥

4 x - 1 - (y \cdot 2 x + y \cdot 3) = 0

⇥⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (y \cdot 2 x + y \cdot 3)

- y \cdot 2 x - y \cdot 3

⇥⇥

4 x

- 1

- y \cdot 2 x

- y \cdot 3 = 0

⇥⇥

4 x - y \cdot 2 x = 1 + y \cdot 3

⇥⇥

(4 - y \cdot 2) \cdot x = 1 + y \cdot 3

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

(4 - y \cdot 2)

, que deve ser não nulo:

y \neq 2

⇥⇥Solução obtida:

x = \frac{3 y + 1}{4 - 2 y}

⇥⇥1.2.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

2 x + 3 \neq 0

⇥⇥

2 x \neq -3

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥⇥Condição de definição:

x \neq - \frac{3}{2}

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

\frac{3 x + 1}{4 - 2 x}

, com domínio

x \neq 2

, a condição obtida ao isolar a entrada

▶Função inversa:

\frac{3 x + 1}{4 - 2 x}