inversa de f(x)= 1/(x+8) — solução passo a passo

1) Para uma função

\frac{a x + b}{c x + d}

, duas entradas u e v com a mesma imagem satisfazem

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

após multiplicar pelos denominadores. Aqui,

0 \cdot 8 - 1

-1

≠ 0, pelo que u = v. Assim, a função tem uma inversa na sua imagem

Vamos exprimir a entrada

x

em função da saída

y

y = \frac{1}{x + 8}

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{1}{x + 8} = y

⇥1.2) Vamos somar as frações:

\frac{1}{x + 8} - y = 0

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1}{x + 8} - y

\frac{1 - y \cdot (x + 8)}{x + 8}

⇥

\frac{1 - y \cdot (x + 8)}{x + 8} = 0

⇥Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥⇥1.2.1) Vamos resolver em

ℝ

1 - y \cdot (x + 8) = 0

⇥⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- y \cdot (x + 8)

- (y x + y \cdot 8)

⇥⇥

1 - (y x + y \cdot 8) = 0

⇥⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (y x + y \cdot 8)

- y \cdot x - y \cdot 8

⇥⇥

1 - y \cdot x - y \cdot 8 = 0

⇥⇥

- y x = - 1 + y \cdot 8

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

- y

, que deve ser não nulo:

y \neq 0

⇥⇥

x = \frac{- 1 + y \cdot 8}{- y}

⇥⇥ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{- 1 + y \cdot 8}{- y}

- (\frac{- 1 + y \cdot 8}{y})

⇥⇥

x = - (\frac{- 1 + y \cdot 8}{y})

⇥⇥ⓘ O sinal de menos da fração passa para o numerador ou para o denominador e muda o sinal de cada um dos seus termos:

- (\frac{- 1 + y \cdot 8}{y})

\frac{1 - y \cdot 8}{y}

⇥⇥

x = \frac{1 - y \cdot 8}{y}

⇥⇥Solução encontrada:

x = \frac{1 - 8 y}{y}

⇥⇥1.2.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

x + 8 \neq 0

⇥⇥Condição de definição:

x \neq -8

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

\frac{1 - 8 x}{x}

, com domínio

x \neq 0

, a condição obtida ao isolar a entrada

▶Função inversa:

\frac{1 - 8 x}{x}