inversa de f(x)=-2^x — solução passo a passo

Uma exponencial de base positiva diferente de 1 e expoente afim não constante é estritamente monótona em ℝ e assume todos os valores estritamente positivos

Vamos exprimir a entrada

x

em função da saída

y

y = - 2^{x}

⇥Vamos resolver em

ℝ

- 2^{x} = y

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

-1

⇥Como o logaritmo só está definido para números estritamente positivos, aplicamos a função ln a ambos os membros, desde que

- y > 0

⇥

\ln (2^{x}) = \ln (- y)

⇥ⓘ No domínio real da expressão inicial, a base é estritamente positiva: o logaritmo da potência é o expoente multiplicado pelo logaritmo da base:

\ln (2^{x})

x \cdot \ln (2)

⇥

x \cdot \ln (2) = \ln (- y)

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

\ln (2)

⇥Solução obtida:

x = \frac{\ln (- y)}{\ln (2)}

⇥Vamos resolver para y:

- y > 0

⇥ⓘ Multiplicamos ambos os membros por

-1

, que é negativo, pelo que invertemos o sentido da desigualdade

⇥Solução encontrada:

y < 0

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

\frac{\ln (- x)}{\ln (2)}

, com domínio

x < 0

, a condição obtida ao isolar a entrada

▶Função inversa:

\frac{\ln (- x)}{\ln (2)}