inversa de f(x)=-2sqrt(3x-1)+4 — solução passo a passo

A função é estritamente monótona em

x \geq \frac{1}{3}

: tem uma inversa na sua imagem

y \leq 4

Isolamos a raiz:

\sqrt{3 x - 1} = \frac{y - 4}{-2}

, com

y \leq 4

. Sob esta condição, elevar ao quadrado dá

3 x - 1 = {(\frac{y - 4}{-2})}^{2}

Vamos resolver em

ℝ

3 x - 1 = {(\frac{y - 4}{-2})}^{2}

ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{y - 4}{-2}

- \frac{y - 4}{2}

■Com um expoente inteiro par, o sinal de menos da base desaparece; com um expoente inteiro ímpar, passa para a frente da potência:

{(- \frac{y - 4}{2})}^{2}

{(\frac{y - 4}{2})}^{2}

3 x - 1 = {(\frac{y - 4}{2})}^{2}

ⓘ Somamos

1

a ambos os membros

3 x = {(\frac{y - 4}{2})}^{2} + 1

ⓘ A potência de um quociente é o quociente das potências,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{y - 4}{2})}^{2}

\frac{{(y - 4)}^{2}}{2^{2}}

3 x = \frac{{(y - 4)}^{2}}{2^{2}} + 1

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

3 x = \frac{{(y - 4)}^{2}}{4} + 1

ⓘ Elevar uma soma a uma potência inteira estritamente positiva consiste em multiplicá-la por si mesma tantas vezes quantas indica o expoente:

{(y - 4)}^{2}

(y - 4) \cdot (y - 4)

3 x = \frac{(y - 4) \cdot (y - 4)}{4} + 1

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(y - 4) \cdot (y - 4)

y \cdot y

+ y \cdot (-4)

- 4 y

- 4 \cdot (-4)

3 x = \frac{y \cdot y + y \cdot (-4) - 4 y - 4 \cdot (-4)}{4} + 1

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

y \cdot y

y^{2}

■Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

y \cdot (-4)

- 4 y

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-4 \cdot (-4)

16

3 x = \frac{y^{2} - 4 y - 4 y + 16}{4} + 1

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 4 y - 4 y

-8 y

3 x = \frac{y^{2} - 8 y + 16}{4} + 1

ⅰ

\frac{y^{2} - 8 y + 16}{4} + 1

\frac{(y^{2} - 8 y + 16) + 4}{4}

3 x = \frac{(y^{2} - 8 y + 16) + 4}{4}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

16 + 4

20

3 x = \frac{y^{2} - 8 y + 20}{4}

ⓘ Uma fração cujo numerador é uma soma separa-se termo a termo:

\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}

, para

c \neq 0

\frac{y^{2} - 8 y + 20}{4}

- 2 y + \frac{y^{2} + 20}{4}

3 x = - 2 y + \frac{y^{2} + 20}{4}

ⓘ Dividimos ambos os membros por

3

x = \frac{- 2 y + \frac{y^{2} + 20}{4}}{3}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- 2 y + \frac{y^{2} + 20}{4}

\frac{- 2 y \cdot 4 + (y^{2} + 20)}{4}

x = \frac{\frac{- 2 y \cdot 4 + (y^{2} + 20)}{4}}{3}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 4

8

x = \frac{\frac{- 8 y + y^{2} + 20}{4}}{3}

ⓘ Dividir uma fração por

3

equivale a multiplicar o seu denominador por

3

\frac{\frac{- 8 y + y^{2} + 20}{4}}{3}

\frac{- 8 y + y^{2} + 20}{4 \cdot 3}

x = \frac{- 8 y + y^{2} + 20}{4 \cdot 3}

ⅰ

4 \cdot 3

12

x = \frac{- 8 y + y^{2} + 20}{12}

Solução obtida:

x = \frac{y^{2} - 8 y + 20}{12}

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

\frac{x^{2} - 8 x + 20}{12}

, com domínio

x \leq 4

▶Função inversa:

(\frac{x^{2} - 8 x + 20}{12} para x \leq 4)