inversa de f(x)=sqrt(4-x)+3 — solução passo a passo

A função é estritamente monótona em

x \leq 4

: tem uma inversa na sua imagem

y \geq 3

Isolamos a raiz:

\sqrt{4 - x} = y - 3

, com

y \geq 3

. Sob esta condição, elevar ao quadrado dá

4 - x = {(y - 3)}^{2}

Vamos resolver em

ℝ

4 - x = {(y - 3)}^{2}

ⓘ Agrupamos os termos em

x

à direita e os restantes à esquerda

4 - {(y - 3)}^{2} = x

ⓘ Elevar uma soma a uma potência inteira estritamente positiva consiste em multiplicá-la por si mesma tantas vezes quantas indica o expoente:

{(y - 3)}^{2}

(y - 3) \cdot (y - 3)

4 - (y - 3) \cdot (y - 3) = x

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- (y - 3) \cdot (y - 3)

- (y \cdot y

+ y \cdot (-3)

- 3 y

- 3 \cdot (-3))

4 - (y \cdot y

+ y \cdot (-3)

- 3 y

- 3 \cdot (-3)) = x

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (y \cdot y

+ y \cdot (-3)

- 3 y

- 3 \cdot (-3))

- y \cdot y

- y \cdot (-3)

+ 3 y

+ 3 \cdot (-3)

4

- y \cdot y

- y \cdot (-3)

+ 3 y

+ 3 \cdot (-3) = x

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

y \cdot y

y^{2}

■Dois sinais de menos anulam-se:

- y \cdot (-3)

3 y

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

3 \cdot (-3)

-9

4

- y^{2}

+ 3 y

+ 3 y

- 9 = x

ⓘ Partimos de

4

e recuamos

9

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

4 - 9

-5

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

3 y + 3 y

6 y

- 5 - y^{2} + 6 y = x

Solução obtida:

x = - y^{2} + 6 y - 5

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

- x^{2} + 6 x - 5

, com domínio

x \geq 3

▶Função inversa:

(- x^{2} + 6 x - 5 para x \geq 3)