inversa de g(x)=(-x-2)/(x+4) — solução passo a passo

1) Vamos somar as frações:

\frac{- x - 2}{x + 4}

ⓘ Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- x - 2

- (x + 2)

- \frac{x + 2}{x + 4}

2) Para uma função

\frac{a x + b}{c x + d}

, duas entradas u e v com a mesma imagem satisfazem

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

após multiplicar pelos denominadores. Aqui,

4 - 2

2

≠ 0, pelo que u = v. Assim, a função tem uma inversa na sua imagem

Vamos exprimir a entrada

x

em função da saída

y

y = - \frac{x + 2}{x + 4}

⇥2.1) Vamos resolver em

ℝ

- \frac{x + 2}{x + 4} = y

⇥2.2) Vamos somar as frações:

- \frac{x + 2}{x + 4} - y = 0

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{x + 2}{x + 4} - y

\frac{- (x + 2) - y \cdot (x + 4)}{x + 4}

⇥

\frac{- (x + 2) - y \cdot (x + 4)}{x + 4} = 0

⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (x + 2)

- x - 2

■Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- x - 2 - y \cdot (x + 4)

- (x + 2 + y \cdot (x + 4))

⇥

- \frac{x + 2 + y \cdot (x + 4)}{x + 4} = 0

⇥Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥⇥2.2.1) Vamos resolver em

ℝ

- (x + 2 + y \cdot (x + 4)) = 0

⇥⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (x + 2 + y \cdot (x + 4))

- x - 2 - y \cdot (x + 4)

⇥⇥

- x - 2 - y \cdot (x + 4)

⇥⇥

- x - 2 - y \cdot (x + 4) = 0

⇥⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- y \cdot (x + 4)

- (y x + y \cdot 4)

⇥⇥

- x - 2 - (y x + y \cdot 4) = 0

⇥⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (y x + y \cdot 4)

- y \cdot x - y \cdot 4

⇥⇥

- x

- 2

- y \cdot x

- y \cdot 4 = 0

⇥⇥ⓘ Somamos

2 + y \cdot 4

a ambos os membros

⇥⇥

- x - y x = 2 + y \cdot 4

⇥⇥

(- 1 - y) \cdot x = 2 + y \cdot 4

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

(- 1 - y)

, que deve ser não nulo:

y \neq -1

⇥⇥

x = \frac{2 + y \cdot 4}{- 1 - y}

⇥⇥ⓘ Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 1 - y

- (1 + y)

⇥⇥

x = \frac{2 + y \cdot 4}{- (1 + y)}

⇥⇥ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{2 + y \cdot 4}{- (1 + y)}

- \frac{2 + y \cdot 4}{1 + y}

⇥⇥

x = - \frac{2 + y \cdot 4}{1 + y}

⇥⇥Solução obtida:

x = - \frac{4 y + 2}{y + 1}

⇥⇥2.2.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

x + 4 \neq 0

⇥⇥Condição de definição:

x \neq -4

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

- \frac{4 x + 2}{x + 1}

, com domínio

x \neq -1

, a condição obtida ao isolar a entrada

▶Função inversa:

- \frac{4 x + 2}{x + 1}