inversa de ln(-2x+3) — solução passo a passo

O domínio da função é

x < \frac{3}{2}

O logaritmo de uma função afim não constante é estritamente monótono no seu domínio e assume todos os valores reais

Vamos exprimir a entrada

x

em função da saída

y

y = \ln (- 2 x + 3)

⇥1) Vamos resolver em

ℝ

y = \ln (- 2 x + 3)

⇥

\ln (- 2 x + 3) = y

⇥Podemos aplicar a função exp a ambos os membros:

⇥

e^{\ln (- 2 x + 3)} = e^{y}

⇥ⓘ Para

x

real,

\ln (\exp (x)) = x

; quando

\ln (x)

está definido,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (- 2 x + 3)}

- 2 x + 3

⇥

- 2 x + 3 = e^{y}

⇥ⓘ Agrupamos os termos em

x

à direita e os restantes à esquerda

⇥

3 - e^{y} = 2 x

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = \frac{3 - e^{y}}{2}

⇥2) Vamos determinar o domínio de

y = \ln (- 2 x + 3)

⇥ Para que a expressão

\ln (- 2 x + 3)

esteja definida, é necessário:

- 2 x + 3 > 0

⇥ⓘ Somamos

2 x

a ambos os membros

⇥

3 > 2 x

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥Restrições do domínio:

x < \frac{3}{2}

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

\frac{3 - e^{x}}{2}

, com domínio

x \in ℝ

▶Função inversa:

\frac{3 - e^{x}}{2}