inversa de sqrt(x-1)-4 — solução passo a passo

A função é estritamente monótona em

x \geq 1

: tem uma inversa na sua imagem

y \geq -4

Isolamos a raiz:

\sqrt{x - 1} = y + 4

, com

y \geq -4

. Sob esta condição, elevar ao quadrado dá

x - 1 = {(y + 4)}^{2}

⇥Vamos resolver em

ℝ

x - 1 = {(y + 4)}^{2}

⇥ⓘ Somamos

1

a ambos os membros

⇥

x = {(y + 4)}^{2} + 1

⇥ⓘ Elevar uma soma a uma potência inteira estritamente positiva consiste em multiplicá-la por si mesma tantas vezes quantas indica o expoente:

{(y + 4)}^{2}

(y + 4) \cdot (y + 4)

⇥

x = (y + 4) \cdot (y + 4) + 1

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(y + 4) \cdot (y + 4)

y \cdot y

+ y \cdot 4

+ 4 y

+ 4 \cdot 4

⇥

x = y \cdot y

+ y \cdot 4

+ 4 y

+ 4 \cdot 4

+ 1

⇥ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

y \cdot y

y^{2}

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

y \cdot 4 + 4 y

8 y

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 4

16

⇥

x = y^{2}

+ 8 y

+ 16

+ 1

⇥ⓘ Partimos de

16

e avançamos

1

na reta numérica:

16 + 1

17

⇥Solução obtida:

x = y^{2} + 8 y + 17

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

x^{2} + 8 x + 17

, com domínio

x \geq -4

▶Função inversa:

(x^{2} + 8 x + 17 para x \geq -4)