inversa de x/(x-4) — solução passo a passo

1) Para uma função

\frac{a x + b}{c x + d}

, duas entradas u e v com a mesma imagem satisfazem

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

após multiplicar pelos denominadores. Aqui,

-4

-4

≠ 0, pelo que u = v. Assim, a função tem uma inversa na sua imagem

Vamos exprimir a entrada

x

em função da saída

y

y = \frac{x}{x - 4}

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{x}{x - 4} = y

⇥1.2) Vamos somar as frações:

\frac{x}{x - 4} - y = 0

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{x}{x - 4} - y

\frac{x - y \cdot (x - 4)}{x - 4}

⇥

\frac{x - y \cdot (x - 4)}{x - 4} = 0

⇥Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥⇥1.2.1) Vamos resolver em

ℝ

x - y \cdot (x - 4) = 0

⇥⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- y \cdot (x - 4)

- (y x + y \cdot (-4))

⇥⇥

x - (y x + y \cdot (-4)) = 0

⇥⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (y x + y \cdot (-4))

- y \cdot x - y \cdot (-4)

⇥⇥

x - y \cdot x - y \cdot (-4) = 0

⇥⇥ⓘ Dois sinais de menos anulam-se:

- y \cdot (-4)

4 y

⇥⇥

x - y x + 4 y = 0

⇥⇥

x - y x = -4 y

⇥⇥

(1 - y) \cdot x = -4 y

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

(1 - y)

, que deve ser não nulo:

y \neq 1

⇥⇥

x = \frac{-4 y}{1 - y}

⇥⇥

x = - \frac{4 y}{1 - y}

⇥⇥ⓘ O sinal de menos da fração passa para o numerador ou para o denominador e muda o sinal de cada um dos seus termos:

- \frac{4 y}{1 - y}

\frac{4 y}{- 1 + y}

⇥⇥

x = \frac{4 y}{- 1 + y}

⇥⇥Solução obtida:

x = \frac{4 y}{y - 1}

⇥⇥1.2.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

x - 4 \neq 0

⇥⇥Condição de definição:

x \neq 4

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

\frac{4 x}{x - 1}

, com domínio

x \neq 1

, a condição obtida ao isolar a entrada

▶Função inversa:

\frac{4 x}{x - 1}