inversa de y=(3x-1)/(2x+8) — solução passo a passo

1) Para uma função

\frac{a x + b}{c x + d}

, duas entradas u e v com a mesma imagem satisfazem

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

após multiplicar pelos denominadores. Aqui,

3 \cdot 8 - (-1 \cdot 2)

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≠ 0, pelo que u = v. Assim, a função tem uma inversa na sua imagem

Vamos exprimir a entrada

x

em função da saída

y

y = \frac{3 x - 1}{2 x + 8}

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{3 x - 1}{2 x + 8} = y

⇥1.2) Vamos somar as frações:

\frac{3 x - 1}{2 x + 8} - y = 0

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{3 x - 1}{2 x + 8} - y

\frac{(3 x - 1) - y \cdot (2 x + 8)}{2 x + 8}

⇥

\frac{(3 x - 1) - y \cdot (2 x + 8)}{2 x + 8} = 0

⇥

\frac{3 x - 1 - y \cdot (2 x + 8)}{2 x + 8} = 0

⇥Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥⇥1.2.1) Vamos resolver em

ℝ

3 x - 1 - y \cdot (2 x + 8) = 0

⇥⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- y \cdot (2 x + 8)

- (y \cdot 2 x + y \cdot 8)

⇥⇥

3 x - 1 - (y \cdot 2 x + y \cdot 8) = 0

⇥⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (y \cdot 2 x + y \cdot 8)

- y \cdot 2 x - y \cdot 8

⇥⇥

3 x

- 1

- y \cdot 2 x

- y \cdot 8 = 0

⇥⇥

3 x - y \cdot 2 x = 1 + y \cdot 8

⇥⇥

(3 - y \cdot 2) \cdot x = 1 + y \cdot 8

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

(3 - y \cdot 2)

, que deve ser não nulo:

y \neq \frac{3}{2}

⇥⇥Solução encontrada:

x = \frac{8 y + 1}{3 - 2 y}

⇥⇥1.2.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

2 x + 8 \neq 0

⇥⇥

2 x \neq -8

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥⇥

x \neq - \frac{8}{2}

⇥⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{8}{2}

-4

⇥⇥Condição de definição:

x \neq -4

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

\frac{8 x + 1}{3 - 2 x}

, com domínio

x \neq \frac{3}{2}

, a condição obtida ao isolar a entrada

▶Função inversa:

\frac{8 x + 1}{3 - 2 x}