inversa de y=ln(3x) — solução passo a passo

O domínio da função é

x > 0

O logaritmo de uma função afim não constante é estritamente monótono no seu domínio e assume todos os valores reais

Vamos exprimir a entrada

x

em função da saída

y

y = \ln (3 x)

⇥1) Vamos resolver em

ℝ

y = \ln (3 x)

⇥

\ln (3 x) = y

⇥Podemos aplicar a função exp a ambos os membros:

⇥

e^{\ln (3 x)} = e^{y}

⇥ⓘ Para

x

real,

\ln (\exp (x)) = x

; quando

\ln (x)

está definido,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (3 x)}

3 x

⇥

3 x = e^{y}

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

3

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = \frac{e^{y}}{3}

⇥2) Vamos determinar o domínio de

y = \ln (3 x)

⇥ Para que a expressão

\ln (3 x)

esteja definida, é necessário:

3 x > 0

⇥Simplificamos a expressão por

3

⇥⇥Vamos resolver em

ℝ

x > 0

⇥Restrições do domínio:

x > 0

Renomeando a saída como

x

, a inversa é

\frac{e^{x}}{3}

, com domínio

x \in ℝ

▶Função inversa:

\frac{e^{x}}{3}