lim((2*exp(x)+x)/(exp(x)+1), x->+inf)

1) Vamos avaliar o limite de

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x) + 1}

quando

x \to +∞

ⓘ É um limite conhecido da função exp

O limite de

\exp (x)

+∞

quando

x \to +∞

ⓘ Uma quantidade infinitamente grande multiplicada por uma quantidade de limite não nulo continua a ser infinitamente grande; os sinais determinam +∞ ou -∞

O limite de

2 \exp (x)

+∞

quando

x \to +∞

ⓘ A soma de duas quantidades que tendem para o mesmo infinito tende para esse infinito

O limite de

2 \exp (x) + x

+∞

quando

x \to +∞

ⓘ Uma quantidade infinitamente grande mais uma quantidade finita ou limitada continua a ser infinitamente grande

O limite de

\exp (x) + 1

+∞

quando

x \to +∞

Para

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x) + 1}

, obtemos a forma indeterminada

\frac{+∞}{+∞}

quando

x

tende para

+∞

2) Para encontrar o limite, dividimos o numerador e o denominador por

\exp (x)

3) Vamos simplificar:

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x)}

ⅰ

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x)}

2 + \frac{x}{\exp (x)}

2 + \frac{x}{\exp (x)}

4) Vamos reduzir:

\frac{\exp (x) + 1}{\exp (x)}

ⅰ

\frac{\exp (x) + 1}{\exp (x)}

1 + \frac{1}{\exp (x)}

1 + \frac{1}{\exp (x)}

Obtemos uma nova fração cujo limite podemos determinar:

\frac{2 + \frac{x}{\exp (x)}}{1 + \frac{1}{\exp (x)}}

Para

\frac{x}{\exp (x)}

, obtemos a forma indeterminada

\frac{+∞}{+∞}

quando

x

tende para

+∞

Comparando os crescimentos,

\exp (x)

domina

x

quando

x \to +∞

O limite de

\frac{x}{\exp (x)}

0

⁺ quando

x \to +∞

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

2 + \frac{x}{\exp (x)}

2

quando

x \to +∞

ⓘ Um número dividido por uma quantidade que se torna infinitamente grande tende para 0

O limite de

\frac{1}{\exp (x)}

0

⁺ quando

x \to +∞

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

1 + \frac{1}{\exp (x)}

1

quando

x \to +∞

O limite de

\frac{2 + \frac{x}{\exp (x)}}{1 + \frac{1}{\exp (x)}}

2

quando

x \to +∞

Portanto, o limite de

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x) + 1}

2

quando

x \to +∞

▶Limite:

2