lim(sqrt(16*x^4+sin(x))/x, x->+inf)

1) Vamos avaliar o limite de

\frac{\sqrt{16 x^{4} + \sin (x)}}{x}

quando

x \to +∞

ⓘ Uma quantidade infinitamente grande elevada a uma potência positiva continua a ser infinitamente grande; com uma potência negativa, tende para 0

O limite de

x^{4}

+∞

quando

x \to +∞

ⓘ Uma quantidade infinitamente grande multiplicada por uma quantidade de limite não nulo continua a ser infinitamente grande; os sinais determinam +∞ ou -∞

O limite de

16 x^{4}

+∞

quando

x \to +∞

O limite de

\sin (x)

não existe mas a expressão permanece limitada em

[-1; 1]

quando

x \to +∞

ⓘ Uma quantidade infinitamente grande mais uma quantidade finita ou limitada continua a ser infinitamente grande

O limite de

16 x^{4} + \sin (x)

+∞

quando

x \to +∞

ⓘ É um limite conhecido da função sqrt

O limite de

\sqrt{16 x^{4} + \sin (x)}

+∞

quando

x \to +∞

Para

\frac{\sqrt{16 x^{4} + \sin (x)}}{x}

, obtemos a forma indeterminada

\frac{+∞}{+∞}

quando

x

tende para

+∞

2) Para encontrar o limite, colocamos o termo dominante em evidência e transformamos

16 x^{4} + \sin (x)

16 x^{4} \cdot (1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}})

\frac{\sqrt{16 x^{4} \cdot (1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}})}}{x}

ⓘ A raiz de um produto é o produto das raízes,

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}

\sqrt{16 x^{4} \cdot (1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}})}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{x^{4}} \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}

\frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{x^{4}} \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}}{x}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{16}

4

pois

4^{2}

16

■A raiz quadrada de um quadrado é o valor absoluto:

\sqrt{x^{4}}

| x^{2} |

\frac{4 \cdot | x^{2} | \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}}{x}

A expressão dentro do valor absoluto é positiva ou nula: o seu valor absoluto é igual a essa expressão

ⅰ

| x^{2} |

x^{2}

\frac{4 x^{2} \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}}{x}

Simplificamos a fração

\frac{x^{2}}{x}

pelo fator comum

x

para obter a nova expressão:

x

4 \cdot x \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}

ⓘ Uma quantidade infinitamente grande multiplicada por uma quantidade de limite não nulo continua a ser infinitamente grande; os sinais determinam +∞ ou -∞■Uma quantidade limitada dividida por uma quantidade que se torna infinitamente grande tende para 0

O limite de

\frac{\sin (x)}{16 x^{4}}

0

quando

x \to +∞

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}

1

quando

x \to +∞

ⓘ A função sqrt é contínua: o seu limite é o seu valor no limite do argumento

O limite de

\sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}

\sqrt{1}

quando

x \to +∞

Vamos calcular:

\sqrt{1}

1

ⓘ Uma quantidade infinitamente grande multiplicada por uma quantidade de limite não nulo continua a ser infinitamente grande; os sinais determinam +∞ ou -∞

O limite de

4 x \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}

+∞

quando

x \to +∞

Portanto, o limite de

\frac{\sqrt{16 x^{4} + \sin (x)}}{x}

+∞

quando

x \to +∞

▶Limite:

+∞