limite quando t tende para 1 de (t^3-1)/(t-1)

1) Vamos calcular o limite de

\frac{t^{3} - 1}{t - 1}

quando

t \to 1

ⓘ A potência de expoente constante é contínua aqui: substituímos a base pelo seu limite

O limite de

t^{3}

1

quando

t \to 1

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

t^{3} - 1

1 - 1

quando

t \to 1

⇥1.1) Vamos calcular:

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

1

na reta numérica, até ao zero:

1 - 1

0

⇥

0

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

t - 1

1 - 1

quando

t \to 1

⇥1.2) Vamos calcular:

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

1

na reta numérica, até ao zero:

1 - 1

0

⇥

0

Para

\frac{t^{3} - 1}{t - 1}

, obtemos a forma indeterminada 0/0 quando

t

tende para

1

2) Aplicamos a regra de l'Hôpital: o limite de

\frac{a}{b}

é o de

\frac{a'}{b'}

, derivando o numerador e o denominador:

3) Vamos derivar:

\frac{d}{d t} (t^{3} - 1)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d t} (t^{3} - 1)

\frac{d}{d t} (t^{3}) + 0

\frac{d}{d t} (t^{3}) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d t} (t^{3}) + 0

\frac{d}{d t} (t^{3})

■A derivada de

t^{n}

n t^{n - 1}

\frac{d}{d t} (t^{3})

3 t^{2}

3 t^{2}

4) Vamos derivar:

\frac{d}{d t} (t - 1)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d t} (t - 1)

1 + 0

1 + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

1

Com as derivadas do numerador e do denominador obtemos uma nova fração cujo limite podemos determinar:

ⓘ A potência de expoente constante é contínua aqui: substituímos a base pelo seu limite

O limite de

t^{2}

1

quando

t \to 1

ⓘ O limite de um produto com limites finitos é o produto dos limites

O limite de

3 t^{2}

3

quando

t \to 1

Portanto, o limite de

\frac{t^{3} - 1}{t - 1}

3

quando

t \to 1

▶Limite:

3