limite quando x tende para 0 de (x^2)/(1-cos(x))

1) Vamos calcular o limite de

\frac{x^{2}}{1 - \cos (x)}

quando

x \to 0

O limite de

x^{2}

0

⁺ quando

x \to 0

ⓘ A função cos é contínua: o seu limite é o seu valor no limite do argumento

O limite de

- \cos (x)

- \cos (0)

⁺ quando

x \to 0

⇥1.1) Vamos avaliar:

- \cos (0)

⇥ⓘ O cosseno corresponde à abcissa (eixo horizontal) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de

0

radianos a partir do semieixo horizontal positivo, é um valor notável:

- \cos (0)

-1

⇥

-1

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

1 - \cos (x)

é (

1 - 1

)⁺ quando

x \to 0

⇥1.2) Vamos calcular:

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

1

na reta numérica, até ao zero:

1 - 1

0

⇥

0

Para

\frac{x^{2}}{1 - \cos (x)}

, obtemos a forma indeterminada 0/0 quando

x

tende para

0

2) Procuramos um desenvolvimento limitado da expressão:

- \cos (x)

Utilizando a fórmula de Taylor

\cos (A) - \sin (A) \cdot (X - A) - \cos (A) \cdot \frac{{(X - A)}^{2}}{2}

da função cos, calculamos o desenvolvimento limitado para X=

x

no ponto A=

0

de ordem N=2

\cos (0) - \sin (0) \cdot (x + 0) - \cos (0) \cdot \frac{{(x + 0)}^{2}}{2}

ⓘ O cosseno corresponde à abcissa (eixo horizontal) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de

0

radianos a partir do semieixo horizontal positivo, é um valor notável:

\cos (0)

1

- \cos (0)

-1

■O seno corresponde à ordenada (eixo vertical) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de

0

radianos a partir do semieixo horizontal positivo, é um valor notável:

\sin (0)

0

■Somar 0 não altera o valor:

x + 0

x

■Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

-1 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{-1 \cdot x^{2}}{2}

- \frac{x^{2}}{2}

1 + 0 \cdot x - \frac{x^{2}}{2}

ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot x

0

1 + 0 - \frac{x^{2}}{2}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - \frac{x^{2}}{2}

- \frac{x^{2}}{2}

1 - \frac{x^{2}}{2}

3) Repetimos o cálculo utilizando o desenvolvimento de Taylor:

- 1 + \frac{x^{2}}{2}

\frac{x^{2}}{1 + (- 1 + \frac{x^{2}}{2})}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 - 1

0

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

0 + \frac{x^{2}}{2}

\frac{0 \cdot 2 + x^{2}}{2}

\frac{x^{2}}{\frac{0 \cdot 2 + x^{2}}{2}}

ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot 2

0

\frac{x^{2}}{\frac{0 + x^{2}}{2}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + x^{2}

x^{2}

\frac{x^{2}}{\frac{x^{2}}{2}}

ⓘ Dividir equivale a multiplicar pelo inverso:

\frac{x^{2}}{\frac{x^{2}}{2}}

x^{2} \cdot \frac{2}{x^{2}}

x^{2} \cdot \frac{2}{x^{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

x^{2} \cdot \frac{2}{x^{2}}

\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2}}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

x^{2}

\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2}}

2

2

Portanto, o limite de

\frac{x^{2}}{1 - \cos (x)}

2

quando

x \to 0

▶Limite:

2