limite quando x tende para 1 de (ln(x))/(x-1)

1) Vamos calcular o limite de

\frac{\ln (x)}{x - 1}

quando

x \to 1

ⓘ A função ln é contínua: o seu limite é o seu valor no limite do argumento

O limite de

\ln (x)

\ln (1)

quando

x \to 1

⇥1.1) Vamos calcular:

\ln (1)

⇥ⓘ

\ln (1) = 0

, pois

\exp (0) = 1

\ln (1)

0

⇥

0

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

x - 1

1 - 1

quando

x \to 1

⇥1.2) Vamos calcular:

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

1

na reta numérica, até ao zero:

1 - 1

0

⇥

0

Para

\frac{\ln (x)}{x - 1}

, obtemos a forma indeterminada 0/0 quando

x

tende para

1

2) Aplicamos a regra de l'Hôpital: o limite de

\frac{a}{b}

é o de

\frac{a'}{b'}

, derivando o numerador e o denominador:

3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\ln (x))

ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

\frac{1}{x}

4) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x - 1)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 1)

1 + 0

1 + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

1

Com as derivadas do numerador e do denominador obtemos uma nova fração cujo limite podemos determinar:

O limite de

\frac{1}{x}

1

quando

x \to 1

Portanto, o limite de

\frac{\ln (x)}{x - 1}

1

quando

x \to 1

▶Limite:

1