limite x->0 (e^x-1)/x — solução passo a passo

1) Vamos avaliar o limite de

\frac{e^{x} - 1}{x}

quando

x \to 0

ⓘ A base tende para um número estritamente positivo e o expoente para um número finito: substituímos estes limites por continuidade

O limite de

e^{x}

1

quando

x \to 0

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

e^{x} - 1

1 - 1

quando

x \to 0

Vamos calcular:

1 - 1

ⓘ Partimos de

1

e recuamos

1

na reta numérica, até ao zero:

1 - 1

0

0

Para

\frac{e^{x} - 1}{x}

, obtemos a forma indeterminada 0/0 quando

x

tende para

0

2) Aplicamos a regra de l'Hôpital: o limite de

\frac{a}{b}

é o de

\frac{a'}{b'}

, derivando o numerador e o denominador:

3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (e^{x} - 1)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (e^{x} - 1)

\frac{d}{d x} (e^{x}) + 0

\frac{d}{d x} (e^{x}) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (e^{x}) + 0

\frac{d}{d x} (e^{x})

■A derivada de

\exp (x)

\exp (x)

\frac{d}{d x} (e^{x})

e^{x}

e^{x}

4) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

1

Com as derivadas do numerador e do denominador obtemos uma nova fração cujo limite podemos determinar:

Portanto, o limite de

\frac{e^{x} - 1}{x}

1

quando

x \to 0

▶Limite:

1