limite x->0 (sqrt(1+x)-1)/x — solução passo a passo

1) Vamos calcular o limite de

\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}

quando

x \to 0

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

1 + x

1

quando

x \to 0

ⓘ A função sqrt é contínua: o seu limite é o seu valor no limite do argumento

O limite de

\sqrt{1 + x}

\sqrt{1}

quando

x \to 0

⇥1.1) Vamos calcular:

\sqrt{1}

⇥

1

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

\sqrt{1 + x} - 1

1 - 1

quando

x \to 0

⇥1.2) Vamos avaliar:

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

1

na reta numérica, até ao zero:

1 - 1

0

⇥

0

Para

\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}

, obtemos a forma indeterminada 0/0 quando

x

tende para

0

2) Procuramos um desenvolvimento limitado da expressão:

\sqrt{1 + x}

Utilizando a fórmula de Taylor

\sqrt{A} + \frac{X - A}{2 \sqrt{A}}

da função sqrt, calculamos o desenvolvimento limitado para X=

1 + x

no ponto A=

1

de ordem N=1

\sqrt{1} + \frac{1 + x - 1}{2 \cdot \sqrt{1}}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 - 1

0

1 + \frac{0 + x}{2}

3) Repetimos o cálculo utilizando o desenvolvimento de Taylor:

1 + \frac{x}{2}

\frac{(1 + \frac{x}{2}) - 1}{x}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 - 1

0

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

0 + \frac{x}{2}

\frac{0 \cdot 2 + x}{2}

\frac{\frac{0 \cdot 2 + x}{2}}{x}

ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot 2

0

\frac{\frac{0 + x}{2}}{x}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + x

x

\frac{\frac{x}{2}}{x}

ⓘ Dividir uma fração por

x

equivale a multiplicar o seu denominador por

x

\frac{\frac{x}{2}}{x}

\frac{x}{2 x}

\frac{x}{2 x}

ⓘ O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

x

\frac{x}{2 x}

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

Portanto, o limite de

\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}

\frac{1}{2}

quando

x \to 0

▶Limite:

\frac{1}{2}

4) O valor numérico de:

\frac{1}{2}

vale:

▷

0,5