limite x->0 ln(1+x)/x — solução passo a passo

1) Vamos avaliar o limite de

\frac{\ln (1 + x)}{x}

quando

x \to 0

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

1 + x

1

quando

x \to 0

ⓘ A função ln é contínua: o seu limite é o seu valor no limite do argumento

O limite de

\ln (1 + x)

\ln (1)

quando

x \to 0

Vamos calcular:

\ln (1)

ⓘ

\ln (1) = 0

, pois

\exp (0) = 1

\ln (1)

0

0

Para

\frac{\ln (1 + x)}{x}

, obtemos a forma indeterminada 0/0 quando

x

tende para

0

2) Aplicamos a regra de l'Hôpital: o limite de

\frac{a}{b}

é o de

\frac{a'}{b'}

, derivando o numerador e o denominador:

3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\ln (1 + x))

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

1 + x

ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (1 + x))

\frac{d}{d x} (1 + x) \cdot \frac{1}{1 + x}

\frac{d}{d x} (1 + x) \cdot \frac{1}{1 + x}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (1 + x) \cdot \frac{1}{1 + x}

\frac{\frac{d}{d x} (1 + x) \cdot 1}{1 + x}

\frac{\frac{d}{d x} (1 + x)}{1 + x}

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (1 + x)

0 + 1

\frac{0 + 1}{1 + x}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 1

1

\frac{1}{1 + x}

4) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

1

Com as derivadas do numerador e do denominador obtemos uma nova fração cujo limite podemos determinar:

O limite de

\frac{1}{1 + x}

1

quando

x \to 0

Portanto, o limite de

\frac{\ln (1 + x)}{x}

1

quando

x \to 0

▶Limite:

1